7.2.3. Расчет амплитуды автоколебаний. Условия амплитудной устойчивости

Формальный расчет стационарной амплитуды колебаний на входе АЭ U_вх выполняется путем решения уравнения (7.15). Поскольку при известной частоте колебаний f известно Z_y(f), то, переписав (7.15) в виде

(7.23)

при известной зависимости S₁(U_BX) можно найти стационарное зна­ние U_BX графически или численно.

Другая форма записи уравнения баланса амплитуд получается из енства (7.7). Умножая его правую и левую части на к, учитывая венство (7.14) и переходя от комплексного уравнения к уравнению я модулей, получаем следующее уравнение:

(7.24)

В левой части этого уравнения записана колебательная характеристика АЭ. Линейная функция U_BX, стоящая в правой части (7.24), задает в плоскости (U_BX , I_к1) прямую линию, называемую прямой ратной связи. Разделив обе части равенства (7.24) на U_BX, можно получить уравнение (7.23). Ненулевые решения обоих уравнений совпадают. Однако в отличие от (7.23) уравнение (7.24) всегда имеет нулевое решение, соответствующее режиму отсутствия колебаний. Его учет и анализ имеют принципиальное значение для понимания процессов в АГ.

Отметим, что в случае, описываемом уравнениями (7.23), (7.24), вид зависимостей I_k1(U_bx) и S₁(U_bx) определяется только формой проходной статической характеристики АЭ и выбором напряжения смещения, задающего точку на этой характеристике, в которой про­исходит самовозбуждение колебаний. На рис. 7.4, а, б показаны два Примера выбора рабочей точки на проходных характеристиках АЭ. В варианте, которому соответствует рис. 7.4, а, напряжение смещения выбрано в точке перегиба статической характеристики, в которой

Рис. 7.4. К выбору рабочих точек на проходных статических характеристиках АЭ, соответствующих режимам мягкого и жесткого самовозбуждения колебаний (а, б), колебательные характеристики (в, г) и зависимости их средней крутизны от амплитуды входного колебания АЭ (д, е) для АГ с мягким (а, в, д) и жестким (б, г, е) режимами самовозбуждения колебаний

локальная крутизна ее максимальна. Рис. 7.4, б иллюстрирует вари­ант, когда рабочая точка расположена левее точки перегиба. В этой рабочей точке локальная крутизна заметно меньше ее максимального значения.

Колебательные характеристики, соответствующие этим двум вариантам, приведены на рис. 7.4, в, г, а на рис. 7.4, д, е показаны зависимости средней крутизны от амплитуды U_BX. Средняя крутизна _х) колебательной характеристики в варианте, соответствующем рис. 7.4, а, в, д, максимальна при U_BX = 0. С ростом U_BX она моно­тонно убывает. В случае, соответствующем рис. 7.4, б, г, е форма колебательной характеристики иная. Ее средняя крутизна S₁ (U_BX) в области значений U_BX, прилегающей к началу координат, монотонно

растет с увеличением U_BX, а затем после прохождения максимума убывает.

Рассмотрим, как влияют эти особенности колебательных характеристик на свойства аг. Начнем с анализа стационарных режимов.

В аг с колебательной характеристикой, показанной на рис. 7 1 в, сушествует либо одно решение уравнения стационарного режима

(7.24), соответствующее отсутствию колебаний U_BX = 0, либо два, одно из которых нулевое, а второе U_BX⁽⁰⁾ отлично от нуля. единственное нулевое решение существует, если

^(7.25)

Режим отсутствия колебаний в аг будем далее называть режимом покоя. На характеристиках рис. 7.4, а, б этому режиму соответствуют колекторные токи покоя I_к.п, значения которых определяются значе­ниями напряжения смещения. Неравенство (7.25) является условием отсутствия колебаний в рассматриваемом аг. Поскольку при нулевой амплитуде , где S₀ — малосигнальная крутизна проходной характеристики в точке покоя, условие (7.25) можно переписать в виде

(7.26)

если выполнено противоположное неравенство

(7.26)

уравнение стационарного режима имеет два решения: U_BX⁽⁰⁾ = 0 и

U_BX⁽¹⁾ ≠ 0 (рис 7.4, в). Возникает вопрос о том, какой из этих режимов

можст длительно существовать, т. е. для какого решения выполняется условие амплитудной устойчивости. Чтобы ответить на этот вопрос, Следуя учебнику [2], рассмотрим энергетические соотношения в liцепи коллектора аэ в точках, в которых выполняются и в которых не выполняются условия стационарного режима.

Умножая (7.24) на 0,5 cosφ_z и учитывая равенства (7.2), (7.14), приводим уравнение стационарного режима АГ к виду

(7.28)

В левой части этого равенства записано выражение для мощности, отдаваемой источником тока АЭ в колебательную систему. В правой части — выражение для мощности, рассеиваемой в колебательной системе.

В точках, соответствующих стационарному режиму, эти мощ­ности равны. Если выбрано такое Z_y = Z_y0 (см. рис. 7.4, в), что при всех значениях U_BX выполняется неравенство I_к1(U_вх) < (U_BX/Z_y0), то отдаваемая в колебательную систему мощность при любой ампли­туде начальных колебаний в КС будет меньше рассеиваемой. Колеба­ния будут затухать, и единственный стационарный режим (режим покоя) будет устойчив.

Если в АГ выбрано такое Z_y = Z_yl (рис. 7.1, в), при котором в

области 0 < U_ВХ < U_BX⁽¹⁾ выполнено неравенство I_к1(U_вх) > (U_BX/Z_yl), то при малом отклонении амплитуды U_вх от нулевого значения мощ­ность, отдаваемая АЭ в КС, превышает рассеиваемую и амплитуда колебаний будет нарастать. Нарастание будет происходить до значения

U_BX = U_BX⁽¹⁾ , при котором выполняется условие равенства поступаю­щей в КС и рассеиваемой в ней мощностей. Очевидно, что при откло­нении U_BX от U_вх⁽¹⁾ в любую сторону (см. рис. 7.4, в) соотношение пос­тупающей и рассеиваемой мощностей изменяется так, что стационарное значение амплитуды U_BX восстанавливается. Следова­тельно, рассматриваемый стационарный режим амплитудно устойчив.

Таким образом, при выполнении неравенства (7.27) точка покоя U_BX = 0 неустойчива. Сколь угодно малое отклонение от нее, вызван­ное, например, шумами АЭ, приводит к самовозбуждению и росту колебаний до стационарного ненулевого значения, поэтому неравен­ство (7.27) называют условием самовозбуждения колебаний в АГ.

Обратим внимание на характер самовозбуждения автоколебаний в АГ с колебательной характеристикой (см. рис. 7.4, в), средняя кру­тизна которой монотонно убывает с увеличением U_BX (см. рис. 7.4, д). Из рис. 7.4, в, д видно, что возникновение колебаний и установка необходимой амплитуды могут быть обеспечены плавным увеличе­нием управляющего сопротивления. На рис. 7.5, а показана зависи-

Рис. 7.5. Зависимости амплитуды колебаний на входе АЭ от управляющего противления в автогенераторах с мягким (а) и жестким (б) режимами самовобуждения

ость амплитуды стационарных колебаний U_BX от Z_y, построенная с пользованием рис. 7.4, д. Из рис. 7.5, а видно, что при переходе аницы самовозбуждения автоколебания возникают без скачков хотя касательная к зависимости U_BX(Z_y) в точке Z_y = 1/Sq верти-ьна) и монотонно нарастают с увеличением Z_y. Такой характер овозбуждения называется мягким. При мягком самовозбуждении ампдитуда колебания может плавно регулироваться изменением любого параметра, влияющего на Z_y. В частности, при уменьшении колебания плавно уменьшаются и прекращаются при том же зна­чении Z_y, при котором они возникли.

Перейдем к анализу стационарных режимов в АГ с колебательной царактеристикой, показанной на рис. 7.4, г. Для нее характерно немо­нотонное изменение средней крутизны с ростом U_BX (см. рис. 7.4, е). В этом случае, как видно из рис. 7.4, г, е, возможны три сочетания стационарных режимов.

Если S_1max < (1/Z_y) (вариант Z_y = Z_y0 на рис. 7,4, г), то существует единственное решение уравнения (7.24), соответствующее режиму Покоя U_BX = 0. При любом отклонении от точки покоя выполняется неравенство I_K1(U_BX) < (U_BX/Z_y0), т. е. доставляемая в КС мощность меньше рассеиваемой, и колебания затухают. Точка покоя устойчива.

Если S₀ < (1/Z_y) < S_1мax (см. рис. 7.4, г), то прямая обратной связи пересекает колебательную характеристику в трех точках. Существует три возможных стационарных режима, в которых U_ВХ имеет значения

Нулевое, U_вх⁽¹¹⁾ и U_bвх⁽¹²⁾ . В окрестности точки покоя 0 < U_BX < U_BX⁽¹¹⁾

по-прежнему выполняется неравенство I_K1(U_BX) < (U_BX/Z_y1), и точка покоя локально устойчива.

В окрестности точки U_BX⁽¹¹⁾ при отклонении от нее в область

U_вх < U_вх⁽¹¹⁾ доставляемая мощность меньше рассеиваемой и U_вх будет убывать, так что отклонение от U_вх⁽¹¹⁾ вниз будет увеличи­ваться.

При малом отклонении U_BX от U_вх⁽¹¹⁾ вверх доставляемая мощность будет превышать рассеиваемую и амплитуда будет продол­жать расти, уходя от точки U_вх⁽¹¹⁾ .

Таким образом, точка стационарного режима U_вх⁽¹¹⁾ локально неустойчива.

Аналогичными рассуждениями можно доказать, что в точке U_BX⁽¹²⁾

условие локальной амплитудной устойчивости выполнено и малые отклонения от нее будут убывать, приводя к восстановлению стацио­нарного режима.

Однако для больших начальных отклонений амплитуды как и от точки покоя, так и от точки U_вх = U_вх⁽¹²⁾ условие устойчивости может быть нарушено. В самом деле, при отклонении от точки покоя на U_BX > U_ВХ⁽¹²⁾ соответствующая точка на рис. 7.4, г попадет в область

«притяжения» точки U_вх и после снятия внешнего воздействия установится режим, в котором U_BX = U_вх⁽¹²⁾ .

Если же АГ сначала работал в режиме U_вх = U_вх⁽¹²⁾_х , а внешнее воздействие привело к уменьшению амплитуды до значения U_BX < U_BX⁽¹¹⁾ т. е. отклонение вниз превышает pазность

U_вх⁽¹¹⁾ -U_вх⁽¹²⁾ соответствующая точка на рис. 7.4, г попадает в область притяжения точки покоя и колебания «срываются».

Такие явления будут отсутствовать, если значение Z_y настолько велико, что S₀ > (1/Z_y2), т. е. условие самовозбуждения (7.27) выполня­ется уже в точке покоя. В этом случае единственный стационарный режим с ненулевой амплитудой U_вх⁽²⁾ устойчив как для малых, так и для больших отклонений амплитуды, а точка покоя локально неустойчива.

Характер самовозбуждения автоколебаний в АГ, имеющем коле­бательную характеристику (см. рис. 7.4, г) с немонотонно изме­няющейся средней крутизной (см. рис. 7 4, е), существенно отлича­тся от рассмотренного ранее мягкого самовозбуждения. При увеличении Z_y автоколебания будут отсутствовать, пока точка покоя остается локально устойчивой, т. е. пока

Z_y < 1/S₀.

Как только это неравенство нарушается, происходит рост амплитуды до значения, соответствующего единственному устойчивому режиму автоколеба­ний. В плоскости (Z_y, U_BX) факт самовозбуждения отображается скачком амплитуды при Z_y = 1/S₀ (рис. 7.5, б). Дальнейшее увеличе­ние Z_y приводит к плавному нарастанию амплитуды. Такой характер самовозбуждения при плавном изменении параметра называют жес­тким.

Если после возникновения автоколебаний начать плавно уменьшать Z_y, то, поскольку возникшее колебание локально устой­чиво, его амплитуда будет плавно уменьшаться до тех пор, пока Z_y не станет больше 1/S _max. После достижения равенства Z_y = 1/S_1max дальнейшее сколь угодно малое уменьшение Z_y приводит к исчезнонению стационарных режимов с ненулевой амплитудой и автоколеба­ния срываются (см. рис. 7.5, б). В плоскости (Z_y, U_BX) срыв автоколе­баний отображается скачкообразным изменением зависимости U_{вх (}Z_y).

Как видно из рис. 7.5, б, в АГ с жестким самовозбуждением завиcимость U_BX(Z_y) имеет гистерезисный характер. В области значений лежащей между точками самовозбуждения и срыва автоколеба­ний их существование зависит от начальных условий. Если у АГ, работающего в этой области, выключить напряжение питания, а затем снова включить, то автоколебания не самовозбудятся и исходный режим можно восстановить только достаточно сильным внешним воздействием. На практике такие свойства АГ неприемлемы и реальные схемы строятся так, чтобы был обеспечен мягкий режим самовозбуждения.

Обобщая результаты анализа стационарных режимов и их ампли­тудной устойчивости, заметим, что во всех устойчивых точках стаци­онарного режима выполняется неравенство

(7.29)

Только при этом условии при отклонении от стационарной амплитуды в любую сторону соотношение поступающей и рассеиваемой мощностей изменяется так, что отклонения убывают и стационар-

ный режим восстанавливается. Если учесть условие стационарного режима, записанное в виде (7.23), то вместо (7.29) можно записать неравенство

, (7.30)

показывающее, что в устойчивой точке локальная крутизна колеба­тельной характеристики должна быть меньше средней.

Наконец, если сделать в (7.30) замену Z_y = 1/S_1max и выпол­нить дифференцирование, то из (7.30) получится еще одна форма записи условия устойчивости

(7.31)

Из рис. 7.4, д, е видно, что во всех устойчивых точках это нера­венство действительно справедливо.

Следовательно, соотношения для определения амплитуды колебаний в стационарном режиме и проверки условий амплитудной устойчивости для АГ с известной колебательной характеристикой получены.