1.11.2 Распределение давления газа по высоте

1) Изотермический процесс

Запишем уравнения равновесия жидкости в дифференциальной форме:

Выразим из уравнения Клапейрона-Менделеева (1.33) плотность:

Подставим в уравнение (1.37) вместо p его выражение по (1.38), тогда получим следующее дифференциальное уравнение:

Проинтегрируем полученное выражение при Т = const:

Допустим, что на отметке с координатой z = 0: давление р = р₀. Тогда постоянная С будет равна:

Подставляя в (1.40) вместо С его выражение по (1.41) получим экспоненциальный закон распределения давления газа по высоте

В этом уравнении h – превышение уровня, на котором давление равно p, над уровнем, где давление равно p₀. Из уравнения (1.42), в частности, следует, что давление равно нулю на бесконечно большой высоте.

2) Адиабатический процесс. Для вывода закона распределения давления газа по высоте в условиях адиабатического процесса используется уравнение состояния газа (1.35), что усложняет интегрирование дифференциальных уравнений Эйлера. В итоге получается выражение

3) Политропический процесс. Использование уравнения состояния (1.36) приводит к выражению

Это наиболее общий закон распределения давления газа по высоте.

Все три выражения, характеризующие распределение давления газа по высоте в разных условиях, учитывают зависимость давления от плотности. Но эта зависимость не всегда заслуживает внимания. Например, нетрудно подсчитать, что при изотермическом и адиабатическом процессах давление воздуха изменяется примерно на 1% при изменении высоты на 1200 м. При решении многих технических задач такими изменениями можно пренебречь. В подобных случаях можно пользоваться основным уравнением гидростатики (1.28).

1.11.3 Распределение температуры газа по высоте

Для получения закона распределения температуры по высоте преобразуем уравнение (1.44)

подставив в него отношения p/ρ и p₀/ρ₀ из уравнения состояния газа. В результате преобразований получим:

Из формулы (1.45) следует, что изменения температуры газа по высоте следуют линейному закону. Для адиабатического процесса n = 1,4. Удельная газовая постоянная воздуха R = 287 Дж/(кг ^. °К). Подставляя эти значения n и R в (1.45) получаем

Согласно полученной зависимости, температура воздуха понижается на 1°С с увеличением высоты на 100 м.

1.12 Относительный покой жидкости.

Рассмотрим случай, когда на жидкость помимо объёмных сил тяжести действуют ещё другие объёмные силы, например, силы инерции. Допустим, что прямолинейно с ускорением движется наполненная цистерна. При этом жидкость, разумеется, вместе с цистерной движется относительно железнодорожного полотна и окружающих его объектов. Относительно же цистерны жидкость будет находиться в покое – это и есть относительный покой жидкости.

1.12.1 Свободная поверхность жидкости при равноускоренном или равнозамедленном прямолинейном движении.

Рассмотрим свободную поверхность жидкости в вагоне-цистерне, который движется равноускоренно с горизонтальным ускорением «а».

Для рассматриваемой единицы массы жидкости запишем уравнение равновесия в дифференциальной форме:

Рис. 1.8

Так как движение прямолинейное равноускоренное, то

Ф_x = - а; Ф_y = 0; Ф_z = - g (1.48)

Подставим в уравнение (1.47) вместо Ф_x, Ф_y и Ф_z их выражения по (1.48) и запишем полученное уравнение:

На свободной поверхности давление – постоянная величина, равная p₀, поэтому

dp = dp₀ = 0;

Следовательно, уравнение (1.49) для свободной поверхности будет иметь следующий вид:

Откуда

Для определения постоянной С запишем уравнение (1.51) для точки на свободной поверхности жидкости, расположенной в начале координат; при этом получаем, что С = 0. Таким образом, уравнение поверхности жидкости в цистерне при прямолинейном равноускоренном движении имеет следующий вид:

Так как

Выражение (1.53) свидетельствует о том, что свободная поверхность жидкости в вагоне-цистерне представляет плоскость, наклонённую к горизонту под углом α.