2.4.3 Уравнение неразрывности для газов

Для сжимаемой жидкости (а газ можно рассматривать как сжимаемую жидкость) следует исходить из закона сохранения массы, который применительно к произвольному потоку жидкости при установившемся движении провозглашает, что массы жидкости, протекающие за единицу времени через сечения 1-1 и 2-2 равны. Масса жидкости, протекающая через живое сечение потока в единицу времени, называется массовым расходом, обозначается Q_M и изменяется в кг/с. Очевидно, что Q_M = ρ . Следовательно, уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости можно записать в виде

Q_M = const (2.8)

ρ

или для произвольной пары живых сечений

(2.10)

2.5 Уравнения Эйлера движения невязкой (идеальной) жидкости.

Наметим оси координат Ох и Оz и выделим элементарный объём в движущейся жидкости в виде прямоугольного параллелепипеда 1-2-3-4; стороны параллелепипеда dx и dz, а также dy (перпендикулярно плоскости чертежа) считаем бесконечно малыми. Определим силы, действующие на протекающую невязкую жидкость, протекающую через выделенный элементарный параллелепипед. Сначала найдём поверхностные силы, которые действуют на его гранях.

Рис. 2.11

Из поверхностных сил на гранях будут действовать только силы гидродинамического давления. Пусть гидродинамическое давление в точке А (x,y,z) равно р. Тогда на грани 1-2 в точке М давление будет равно , а в точке N давление составит , где - представляет собой приращение величины гидродинамического давления, приходящееся на единицу длины отрезка MN. Также могут быть найдены гидродинамические давления и на других гранях выделенного параллелепипеда.

Пусть далее на протекающую через выделенный фиксированный объём жидкости действуют объёмные силы, проекции которых, отнесённые к единице массы, равны Ф_х, Ф_у, Ф_z. Воспользуемся принципом Даламбера. Приложим к протекающей через рассматриваемый фиксированный объём жидкости силы инерции. Их проекции на оси координат, отнесённые к единице массы, равны:

Проектируя все перечисленные силы на ось Ох и принимая гидродинамические давления в точках М и N за средние на гранях, согласно принципу Даламбера, получим:

или после преобразований

Перепишем полученное уравнение в следующем виде:

Проектируя все действующие силы соответственно на оси Оу и Оz, получим с помощью аналогичных преобразований ещё два уравнения и в результате имеем систему из трёх уравнений:

Это и есть уравнения Эйлера движения невязкой жидкости.

В таком виде уравнения справедливы для несжимаемой и для сжимаемой жидкостей. В случае несжимаемой жидкости плотность её не меняется, т.е. ρ = const. В этом случае в уравнениях Эйлера ρ является параметром. В случае же сжимаемой жидкости плотность её есть величина переменная, зависящая от величины гидродинамического давления и температуры, т.е.

Для определения вида этой функции нужно составить дополнительное уравнение, которое называют уравнением состояния жидкости (газа).

2.6 Интеграл Бернулли.

Перейдём к интегрированию полученных выше дифференциальных уравнений движения невязкой жидкости. Отметим, что для общего случая движения интегралы этих уравнений ввиду большой математической сложности ещё не найдены.

Мы проведём интегрирование названной системы при следующих ограничительных условиях:

1. Движение жидкости является установившимся. Это значит, что в любой точке пространства, занятого движущейся жидкостью, скорость, гидродинамическое давление и другие элементы потока во времени не меняются и линии тока совпадают с траекториями движения частиц. Следовательно, частные производные по времени от названных элементов потока жидкости будут здесь равны нулю, т.е.

2. Предполагается, что действующие на жидкость внешние объёмные силы имеют потенциал, т.е.

3. Примем, что

где Р – функция Громеко, зависящая только от координат.

Перепишем систему

и умножим первое уравнение на dx, второе на dy, а третье на dz и сложим почленно.

Тогда получим:

Это и есть интеграл Бернулли. Уравнение (2.24) показывает, что при оговорённых выше условиях величина функции одинакова во всех точках, взятых на одной и той же линии тока.

Постоянная интегрирования в выражении (2.24) имеет различные значения для различных линий тока.

Рис. 2.12

На рис. 2.12 показана линия тока.