13.7 Интегрирование дифференциального уравнения неравномерного плавно изменяющегося движения грунтовой воды

Рассмотрим уклоны i > 0 и i = 0.

1. Прямой уклон дна русла (i > 0).

В этом случае удельный расход при равномерном движении, выраженный через нормальную глубину h₀, будет равен:

где q – расход воды, приходящийся на единицу ширины русла.

Подставляя в (13.31) вместо Q его выражение по (13.33), получим:

или

где - относительная глубина.

Выразим (13.35) через относительную глубину:

или

Интегрируя полученное выражение от сечения 1-1 до сечения 2-2 (рис.13.6) получим:

где ; ; l = S₂ – S₁ (13.39)

Рис. 13.6 К выводу дифференциального уравнения неравномерного плавно изменяющегося движения грунтовой воды

Перепишем (13.38) в окончательном виде, перейдя от натуральных логарифмов к десятичным:

Зависимость (13.40) представляет собой уравнение кривой депрессии.

2. Горизонтальное русло (i = 0).

Запишем уравнение (13.31) для удельного фильтрационного расхода q

В случае i = 0 из (13.41) получим:

Разделив переменные, интегрируем уравнение (13.42) от сечения 1-1 до сечения 2-2. При этом получаем:

У равнение (13.46) действительно для двух любых сечений, в том числе, например, и для сечения W₁ – W₁ и W₂ – W₂ (рис. 13.7)

Рис. 13.7 Фильтрация через прямоугольный грунтовый массив

Записав уравнение (13.46) для указанных сечений, получим:

откуда

Задавая в уравнении (13.48) различные значения x, можем вычислить соответствующие значения h и по полученным точкам построить кривую депрессии.

13.8 Приток воды к совершенной водосборной галерее

Совершенной называется галерея, дно которой проходит по водоупору. В этом случае приток грунтовой воды к ней снизу исключён, а картина течения в грунте напоминает показанную на рис. 13.7.

Изобразим такую галерею на рисунке (рис. 13.8)

Рис. 13.8. Приток воды к галерее, расположенной на водоупоре (совершенной галерее).

Для определения удельного расхода q, поступающего в галерею с одной стороны, воспользуемся формулой Дюпюи, которую переписываем в виде:

где h₁ – глубина грунтовой воды до устройства галереи;

h₁ – глубина воды в галерее;

L – длина влияния галереи, устанавливаемая на основании данных гидрогеологических изысканий.

Величину L можно определить по формуле

где J_ср – средний уклон кривой депрессии, назначаемый в зависимости от разновидности грунта по табл. 13.3.

Таблица 13.3

Величины Jср среднего уклона кривой депрессии

Грунт	Jср
Песок крупный	0,003 – 0,006
Песок	0,006 – 0,020
Супеси	0,020 – 0,050

13.9 Приток грунтовой воды к круглому совершенному колодцу

Колодец, доходящий до водоупора, называется совершенным. Представим на рис. 13.9 разрез такого колодца вертикальной плоскостью, проходящей через его центр, а также план колодца (на рисунке изображена только половина колодца в плане).

Первоначальное положение уровня грунтовых вод совпадает с горизонтом А-А. Если из такого колодца начать откачивать определённый расход воды Q = const, то уровень воды в колодце будет понижаться до тех пор, пока расход воды, поступающий из грунта в колодец, сделается равным расходу Q, откачиваемому из колодца. При этом получим установившееся движение воды. Поток сверху ограничен так называемой депрессионной воронкой. Живые сечения данного потока представляют собой круглоцилиндрические коаксиальные поверхности. Осью этих цилиндрических поверхностей является ось колодца Oh.

Обозначим через r₀ радиус колодца и через R – радиус депрессионной воронки; на расстоянии R от оси колодца уровень грунтовых вод практически не снижается. Обозначим глубину воды в этом месте через H₀, которая называется мощностью водоносного слоя. Расход Q называется дебитом колодца.

Поставим цель найти дебит колодца Q, а также уравнение кривой депрессии АВ. В рассматриваемом случае мы имеем осесимметричную задачу движения грунтовой воды. Вводим произвольное живое сечение n-n, определяемое радиусом r. Расход воды для этого сечения

где

Р ис. 13.9 Приток грунтовой воды к круглому совершенному колодцу

Через h обозначена глубина потока в данном круглоцилиндрическом живом сечении, имеющем площадь .

Средняя скорость фильтрации по формуле Дюпюи будет равна

где J – уклон кривой депрессии в данном сечении, который равен

Подставляя (13.54) в (13.53), получим:

Подставим (13.55) и (13.52) в (13.51) и запишем полученное выражение:

Разделим переменные

и проинтегрируем полученное выражение

или

откуда

Как видно, для определения дебита колодца Q необходимо знать радиус влияния колодца R. Радиус влияния зависит от рода грунта, и его иногда принимают по данным практики. Для определения R можно воспользоваться формулой Зихарда:

где z – снижение горизонта воды в колодце, м;

k – коэффициент фильтрации, м/с.