14.3 Критерии динамического подобия

В общем случае на движущуюся несжимаемую вязкую жидкость действуют следующие силы:

1) объемная внешняя сила тяжести ;

2) поверхностные (внешние и внутренние) силы гидродинамического давления ;

3) поверхностные (внешние и внутренние) силы трения (вязкости) .

Согласно началу Даламбера, геометрическая сумма указанных сил может быть представлена в виде

, (14.14)

где – сила инерции,

. (14.15)

Здесь М – масса рассматриваемого объема жидкости;

w – ускорение.

При заданных граничных условиях можно считать, что в данной точке жидкости сила давления целиком определяется силами , и :

. (14.16)

Поэтому равенство (14.14) можно переписать следующим образом:

. (14.17)

Для различных частных случаев уравнение движения (14.17) может упроститься в связи с тем, что некоторые силы, входящие в него, оказываются или равными нулю, или имеют пренебрежимо малую величину сравнительно с другими силами. Например, при параллельно-струйном установившемся движении сила инерции = 0; при напорном движении в трубопроводе эффект действия собственного веса G рассматриваемого объема жидкости по сравнению с эффектом действия сил давления Р оказывается ничтожным, поэтому сила G из уравнения (14.18) может быть исключена; при ламинарном движении силы J часто могут оказаться пренебрежимо малыми по сравнению с силами Т.

14.3.1 Случай, когда на жидкость действуют только силы тяжести

В этом случае в уравнение (14.17) будут входить только сила G и сила инерции J. Для достижения динамического подобия натуры и модели, изображенных на рис. 14.1 , надо требовать, чтобы треугольники сил, показанных на схемах а и б, были геометрически подобными.

Чтобы обеспечить подобие указанных треугольников сил, необходимо:

а) кинематическое подобие двух рассматриваемых систем, т.к. именно это условие обеспечит равенство углов, образованных силами G и J на рис.14.1 (при соблюдении кинематического подобия обеспечивается и геометрическое);

б) соблюдение равенства

(14.18)

или , (14.19)

где – масштаб сил.

В соответствии с (14.15)

. (14.20)

I_н

R_н = –P_н

G_н

а)

б)

I_м

G_м

R_м = –P_м

Рис. 14.1. Схема сил, действующих на элементарный объем жидкости:

а – натура; б – модель

Поэтому масштаб сил , обеспечивающий динамическое подобие в данном случае, будет

, (14.21)

где и – какие-либо сходственные линейные размеры натуры и модели. Размерность силы тяжести

. (14.22)

Следовательно,

. (14.23)

С учетом соотношений (14.21) и (14.23), перепишем (14.19) в следующем виде:

= ,

или . (14.24)

Перепишем равенство (14.24) в следующем виде:

, (14.25)

где u – скорость в рассматриваемой точке;

– какой-либо линейный размер;

g – ускорение свободного падения.

Перепишем (14.25) в следующем виде:

. (14.26)

Эту величину принято называть числом Фруда.

Когда на жидкость действуют только силы тяжести, динамическое подобие будет иметь место, если соблюдаются геометрическое и кинематическое подобия и если число Фруда, вычисленное для любой точки натуры, оказывается равным числу Фруда, вычисленному для сходственной точки модели:

. (14.27)