9.7. Исследование форм (видов) кривой свободной поверхности потока в случае неравномерного плавно изменяющегося движения воды в цилиндрическом русле.

Выясним, какой вид может иметь искомая свободная поверхность потока. Проведём исследование дифференциального уравнения неравномерного движения.

Введём обозначение:

Напомним, что мы ограничиваемся рассмотрением только цилиндрических русел «правильной» формы, для которых и K непрерывно возрастают с увеличением глубины наполнения h (русел замкнутого профиля, а также русел, имеющих составное поперечное сечение, мы не касаемся).

Далее будем рассматривать продольный профиль заданного русла (рис.9.24), причём всю область возможного расположения свободной поверхности будем разбивать на три отдельные зоны (a, b, c) путём проведения линий N-N и К-К. На рис. 9.24 линия N-N лежит выше линии К-К; однако могут иметь место случаи, когда линия К-К будет располагаться и выше линии N-N.

Рис. 9.24 Зоны расположения отдельных кривых свободной поверхности потока.

1. Русло с прямым уклоном (i > 0). Приведём уравнение (9.30) к виду, удобному для исследования. С этой целью рассмотрим отдельно числитель (ч) и знаменатель (з) правой части этого уравнения:

1. Числитель правой части уравнения (9.30)

где расход Q выражен по формуле равномерного движения, записанной применительно к некоторому фиктивному потоку в заданном русле, характеризуемому равномерным движением

Из (9.73) окончательно получаем

2. Знаменатель правой части уравнения (9.30) с учётом (9.54)

Вводим обозначение

Величина согласно (9.72) зависит только от h; является частным значением , когда h = h_к.

Пользуясь обозначениями и , выражение (9.75) окончательно переписываем в виде:

Подставляя теперь найденные значения для ч и з в уравнение (9.30), получаем:

Зависимость (9.78) является третьим видом дифференциального уравнения, удобным для исследования.

Рассматривая неравномерное движение в русле с прямым уклоном (i > 0), различаем три случая:

1-й, характеризуемый условиями

h₀ > h_к и i < i_к (9.79)

здесь получим (см. ниже) три возможные формы свободной поверхности;

2-й, характеризуемый условиями

h₀ < h_к и i > i_к (9.80)

здесь получим также три возможные формы свободной поверхности;

3-й, характеризуемый условиями

h₀ = h_к и i = i_к (9.81)

здесь получим только две возможные формы свободной поверхности.

Как видно, при i > 0 всего получаем восемь различных свободных поверхностей (относящихся к случаю неравномерного движения):

а) шесть из них являются кривыми подпора;

б) две – кривыми спада.

Заметим, что кривой подпора называется такая кривая свободной поверхности, вдоль которой (по течению), глубины потока возрастают; кривой спада – кривая свободной поверхности, вдоль которой глубины потока уменьшаются.

Рассмотрим отдельно каждый из трёх намеченных случаев:

1-й случай, характеризуемый условиями (9.79). Три кривые свободной поверхности, получающиеся при данных условиях, представлены на рис. 9.26 (на этом чертеже совмещены три различных потока, ограниченных сверху соответственно кривыми свободной поверхности a₁, b₁ и c₁). Как видно, каждой намеченной на рис. 9.25 зоне (a, b, c) отвечает своя кривая свободной поверхности, обозначаемая соответственно a₁, b₁ и c₁. Ни одна из них не пересекает линий N-N и К-К. Направление выпуклостей кривых a₁ и b₁ – различно. Кривые a₁ и c₁ являются кривыми подпора; кривая же b₁ – кривой спада.

Рис. 9.25 Формы (виды) отдельных кривых свободной поверхности при i < i_к­.

Рассмотрим каждую из показанных на рис. 9.25 кривых и докажем, что их вид должен быть таким, какой изображён на чертеже.

Рис. 9.26 Кривая свободной поверхности типа a₁.

Кривая а₁. Эта кривая называется кривой подпора типа a₁. Она появляется в русле, когда искусственно фиксируемая глубина h_ф даёт точку F свободной поверхности, лежащую в зоне а, т.е. когда (рис. 9.26)

Как видно, все глубины h потока, ограниченного сверху кривой а₁, удовлетворяют условию

Используя уравнение (9.78) докажем теперь, что кривая а₁ имеет форму, показанную на рис. 9.25 и 9.26.

1. Так как для данной кривой имеется условие (9.83), то эта кривая характеризуется неравенствами

следовательно, в рассматриваемом случае

ч > 0 и з > 0 (9.85)

а потому

отсюда заключаем, что глубины потока h по течению увеличиваются, т.е. здесь действительно получаем кривую подпора. Дополнительно обратим внимание, что у этой кривой подпора отметки свободной поверхности вниз по течению уменьшаются:

2. При стремлении h к бесконечности К ² и также стремятся к бесконечности; в то же время величины и сохраняют свои значения: = const и = const.

Следовательно, при стремлении h к бесконечности

о тсюда заключаем, что в низовой своей части кривая типа a₁ имеет горизонтальную «асимптоту» АВ. Действительно, горизонтальная прямая АВ характеризуется условием (см. обозначения dh и ds, показанные на рис. 9.27)

Рис. 9.27 К доказательству соотношения (9.87)

Таким образом, вниз по течению кривая a₁ будет всё более и более приближаться к горизонтальной прямой.

3. При стремлении h к h₀ (см. левый конец кривой а₁) величина стремится к , а потому

следовательно, в верховой части кривая а­₁ будет иметь асимптоту в виде линии N-N, характеризуемой условием .

4. Учитывая, что кривая а­₁ имеет, как доказано выше, две асимптоты в виде линий А-В и N-N, можем утверждать, что выпуклость рассматриваемой кривой обращена вниз.

5. Так как кривая а­₁ асимптотически приближается к прямой N-N, то ясно, что подпор, вызванный плотиной (рис. 9.26), распространяется вверх по течению теоретически на бесконечно большую длину. Однако практически пренебрегают некоторой незначительной величиной Δh, равной, например (0,01 0,02)h₀, и считают длину кривой подпора l_п конечной.

6. Удельная энергия сечения Э вниз по течению в случае кривой а­₁ должна увеличиваться. Это ясно из того, что кривая а­₁ вниз по течению удаляется от линии K-K, которой отвечает минимум Э.

Рис. 9.28 Кривая свободной поверхности типа b₁.

Кривая b₁. Эта кривая называется кривой спада типа b₁. Она появляется в русле, когда искусственно фиксируемая глубина h_ф даёт точку F свободной поверхности, лежащую в зоне b, т.е. когда (рис. 9.28)

Как видно, все глубины h потока, ограниченного сверху кривой b₁, удовлетворяют условию

Анализируя уравнение (9.78), имеем следующее:

1. Так как данная кривая характеризуется соотношением (9.91), то для этой кривой

а следовательно,

Отсюда заключаем, что глубины потока вниз по течению уменьшаются, т.е. здесь мы действительно получаем кривую спада.

2. При стремлении h к h₀ величина стремится к , а следовательно,

т.е. кривая b₁ в левой (верховой) своей части имеет асимптоту в виде линии N-N.

3. При h = h_к кривая b₁ имеет вертикальную касательную (см. раздел 9.6).

4. Учитывая, что кривая b₁ имеет асимптоту N-N и вертикальную касательную W-W (рис.9.25), можем утверждать, что выпуклость этой кривой обращена вверх.

5. Длина кривой b₁, поскольку она асимптотически приближается к линии N-N, теоретически равна бесконечности. Однако, пренебрегая незначительной величиной Δh (рис. 9.28), практически длину этой кривой l_п считаем конечной.

6 . Удельная энергия сечения Э вниз по течению в случае кривой b₁ уменьшается, поскольку данная кривая по течению приближается к линии К-К, которой отвечает Э_мин.

Рис. 9.29 Кривая свободной поверхности типа c₁.

Кривая с₁. Кривая подпора типа с₁ появляется в русле, когда искусственно фиксируемая глубина h_ф даёт точку F свободной поверхности, лежащую в зоне c, т.е. когда (рис. 9.29)

h_ф < h_к < h₀ (9.95)

Все глубины h потока, ограниченного сверху кривой c₁, удовлетворяют условию

h₀ > h_к > h (9.96)

Рассуждая, как и выше, можем показать, что кривая с₁ обладает следующими свойствами:

1) она является кривой подпора;

2) на правом своём конце имеет вертикальную касательную W-W;

3) асимптот не имеет;

4) выпуклость её обращена вниз;

5) удельная энергия сечения Э вдоль данной кривой (по течению) уменьшается;

6) длина её является конечной.

2 -й случай, характеризуемый условиями (9.80). Путём исследования уравнения (9.78), проводимого точно так же, как и в первом случае, легко доказать, что в канале при условиях (9.80) может иметь место одна из трёх поверхностей, изображённых на рис. 9.30 (а₂, b₂, c₂)/

Рис. 9.30 Формы (виды) отдельных кривых свободной поверхности при i > i_к

Из чертежа видно: 1) какая из этих кривых является кривой подпора и какая – кривой спада; 2) какие имеются у данных кривых (по их концам) асимптоты или касательные; 3) в какую сторону обращены выпуклости кривых; 4) как изменяется величина Э вдоль течения для различных кривых.

Та или другая из рассматриваемых кривых появляется в русле в зависимости от того, в какой зоне (a, b или с) мы фиксируем точку свободной поверхности F. Например, на рис. 9.31 показана кривая а₂, появившаяся в русле после того, как в нём была создана преграда Пр, при помощи которой искусственно зафиксировали в русле глубину h_ф и получили точку F, лежащую в зоне а.

Р ис. 9.31 Кривая свободной поверхности а₂

3-й случай, характеризуемый условиями (9.81). Здесь линии N-N и К-К совпадают (рис. 9.32), а потому зона b исчезает; остаются только две зоны: а и с. Соответственно этому получаем две кривые свободной поверхности: типа а₃ и типа с₃.

Рис. 9.32 Формы (виды) отдельных кривых свободной поверхности при i = i_к

Кривая а₃ характеризуется соотношением

h > h_к = h₀ (9.97)

кривая с₃ – соотношением

h < h_к = h₀ (9.98)

П утём исследования уравнения (9.78) можно доказать, что эти кривые являются кривыми подпора и имеют форму, показанную на рис. 9.32. Можно также убедиться, что в случае широкого прямоугольного русла, если будем считать, что коэффициент Шези С не изменяется с глубиной (С = const), данные кривые обращаются в прямые горизонтальные линии.

Рис. 9.33 Формы (виды) отдельных кривых свободной поверхности при i = 0.

2. Русло с горизонтальным дном (i = 0). После анализа дифференциального уравнения неравномерного движения легко показать, что в случае i = 0 может иметь место одна из двух свободных поверхностей, показанных на рис. 9.33 (кривая b₀ или с₀).

В данном случае h₀ = ∞, поэтому зона а исчезает (линия N-N располагается на бесконечно большом расстоянии от линии дна); остаются только две зоны: b и c. Кривая спада b₀, лежащая в зоне b, на левом своём конце имеет горизонтальную «асимптоту», удалённую на бесконечно большое расстояние от линии дна русла. На правом своём конце кривая b₀, так же как и кривая с₀ и являющаяся кривой подпора, имеет вертикальную касательную W-W.

3. Русло с обратным уклоном дна (i < 0). Здесь, как и в случае i = 0, получаем только две свободные поверхности: типа b’ (кривая спада) и типа c’ (кривая подпора) – рис.9.34. Подчеркнём, что b’ имеет такую же горизонтальную «асимптоту», как и b₀.

Рис. 9.34. Формы (виды) отдельных кривых свободной поверхности при i < 0