2.7 Уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости.

При выводе уравнения Бернулли приходится принять, помимо указанных при получении интеграла Бернулли ещё ряд ограничительных предположений.

1. Полагаем, что из объёмных сил действует только сила тяжести. Потенциал её, как известно, равен:

где z – координата, определяющая высотное положение в пространстве частицы жидкости (ось Оz направлена вверх).

2. Жидкость несжимаема, т.е. ρ = const. В таком случае

Подставляя эти значения W и Р в уравнение (2.24), получим

Поделив все члены этого уравнения на g, и замечая, что ρ^. g = γ, после перемены знаков в левой части у всех членов будем иметь

во всех точках на данной линии тока. Итак, для двух любых точек, взятых на одной и той же линии тока, получим

Отметим, что постоянная в выражении (2.28) для каждой линии тока имеет своё значение.

Каждый член уравнения Бернулли имеет энергетический смысл, а также может быть графически показан на чертеже (т.е. имеет также геометрический смысл).

2.8. О распределении давления в живых сечениях потока при параллельноструйном и плавно изменяющемся движениях жидкости.

Примем, что из объёмных сил на жидкость действует только силы тяжести. Напомним, что при параллельноструйном и плавно изменяющемся движениях расчётные живые сечения являются плоскими. Представим на рисунке плавно изменяющийся поток.

Наметим два плоских живых сечения 1-1 и 2-2; к различным точкам этих сечений присоединим пьезометры П.

Рис. 2.13

Как показывает опыт, в случае указанного движения горизонт воды во всех пьезометрах П, присоединённых к разным точкам одного и того же сечения (например, сечения 1-1), устанавливается на одном и том же уровне. Для различных точек данного живого сечения величины и имеют разное значение, однако сумма их постоянна.

(для данного живого сечения) если движение плавно изменяющееся или параллельноструйное.

В другом живом сечении сумма будет иная, но постоянная для всех точек этого сечения. Таким образом, при параллельноструйном и плавно изменяющемся движениях сумма отметки и пьезометрической высоты для всех точек данного плоского живого сечения одинакова.

При параллельноструйном и плавно изменяющемся движениях жидкости распределение давления в данном плоском живом сечении потока следует гидростатическому закону.

2.9 Влияние неравномерности распределения скоростей по плоскому живому сечению на величину количества движения и величину кинетической энергии некоторой массы жидкости, протекающей через данное живое сечение.

Рассмотрим две разные схемы потока, имеющего плоские живые сечения (рис. 2.14): схему а, на которой изображён продольный разрез действительного потока, характеризуемого неравномерным распределением скоростей по живому сечению и схему б, на которой изображён продольный разрез соответствующего расчетного потока, характеризуемого тем обстоятельством, что все частицы жидкости проходят через соответствующее живое сечение А’В’ с одинаковой скоростью, равной средней скорости . Размеры живых сечений АВ и А’В’ и расходы Q данных потоков считаются одинаковыми.

а) действительный поток	б) расчетный условный поток

Рис. 2.14

Обозначим через КД (М) и КЭ (М) соответственно количество движения и кинетическую энергию некоторой массы М жидкости, проходящей через живое сечение АВ за время dt. Через [КД(М)]_ср и [КЭ(М)]_ср обозначим соответственно количество движения и кинетическую энергию той же массы М жидкости, проходящей через живое сечение А’В’ за то же время dt. Величины КД (М) и КЭ (М) будем называть действительными (вычисляются исходя из действительного распределения скоростей по живому сечению). Величины же [КД(М)]_ср и [КЭ(М)]_ср должны подсчитываться в предположении, что скорости u во всех точках рассматриваемого живого сечения одинаковы и равны средней скорости . Величины [КД(М)]_ср и [КЭ(М)]_ср будем называть средними. Наша задача заключается в сопоставлении величин КД и КЭ, найденных для схемы а и б. Найдём величины отношений КД (М) к [КД(М)]_ср и КЭ (М) к [КЭ(М)]_ср.

Здесь - площадь элементарной площадки живого сечения; - средняя скорость; W – объём жидкости, проходящей за время dt через живое сечение ω; М – масса этого объёма.