3.5 Формула Пуазейля для расхода q в круглоцилиндрической трубе. Потеря напора по длине при ламинарном равномерном установившемся движении жидкости.

Рассмотрим напорное движение в круглоцилиндрической трубе. Найдём сначала величину расхода Q для этой трубы. Напишем выражение для элементарного расхода dQ, проходящего через элементарную часть площади живого сечения dω в виде кольца радиусом r (см. рис. 3.5).

Подставляя в (3.32) вместо u её выражение по (3.30), имеем:

Интегрируя это выражение по всей площади живого сечения, получаем объём отмеченного выше параболоида вращения, равный:

где D – диаметр трубы.

или

где коэффициент М зависит только от рода жидкости:

Средняя скорость

или

Отсюда

Формула (3.39) была впервые получена доктором медицины Пуазейлем в 1840 году, причем он пришел к этой зависимости чисто эмпирическим путём, исследуя движение жидкости в тонких капиллярных трубках. Из рассмотрения зависимости (3.39) можно сделать следующие выводы:

В случае ламинарного режима движения потеря напора :

1) зависит от свойств жидкости, что учитывается коэффициентом вязкости η, а также величиной γ;

2) прямо пропорциональна скорости в первой степени;

3) не зависит от шероховатости стенок русла (в формулу (3.39) не входят какие-либо характеристики шероховатости стенок русла).

Потерю напора для круглоцилиндрической трубы в случае ламинарного режима иногда представляют в следующем виде.

Умножим числитель и знаменатель формулы (3.39) на

При ламинарном режиме .

Откуда

3.6 Уравнения Навье-Стокса движения вязкой жидкости.

В отличие от идеальной жидкости, движение которой описывается уравнениями Эйлера, в реальной жидкости при её движении возникают силы трения, обусловленные вязкостью. Запишем уравнения Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости при ρ = const.

где - кинематический коэффициент вязкости;

и выражаются аналогично.

К этой системе обычно добавляется уравнение неразрывности в виде

В настоящее время удалось получить решение этих уравнений лишь для простейших случаев.

Рассмотрим один из них, а именно случай прямолинейного движения жидкости между параллельными стенками.

3.7 Пример точного решения уравнений Навье-Стокса.

Положим, что движение вязкой жидкости происходит между двумя горизонтальными параллельными стенками, уравнения которых суть z = -h и z = +h. Этот случай представлен на рис. 3.6.

Рис. 3.6

Примем, что течение прямолинейное. Тогда, направляя ось Ох по направлению течения, будем иметь u_x = u, u_y = u_z = 0.

Из уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости (3.44) получаем, что, поскольку u_y = u_z = 0 и , то . Очевидно, что тогда ; . Допустим ещё, что рассматриваемое движение является установившимся. Тогда . Отсюда

Ясно, что при сделанных предположениях . Следовательно, в рассматриваемом движении силы инерции равны нулю.

Полагая далее, что из внешних объёмных сил на жидкость действуют только силы тяжести, при указанном на чертеже направлении осей получим

При таких допущениях дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости сильно упрощаются и принимают вид

Два последних уравнения этой системы показывают, что гидромеханическое давление в поперечных сечениях потока будет изменяться по гидростатическому закону, т.е. . Отсюда

Т.е. перепады давления на всех линиях тока в данном сечении одинаковы. Чтобы найти значение этой функции, мы должны проинтегрировать первое из указанных уравнений. Перепишем его в виде:

Интегрируя это уравнение первый раз, получим

После второго интегрирования будем иметь

Чтобы найти постоянные интегрирования С₁ и С₂ воспользуемся граничными условиями нашей задачи. Так как скорость на неподвижной непроницаемой стенке равна нулю, то, при z = -h и z = +h, u = 0.

Подставляя эти значения z и u в уравнение (3.52), получим

Вычитая одно из другого, получаем, что С₁ = 0. Отсюда

Следовательно

Уравнение (3.55) показывает, что скорости движения частиц жидкости в поперечном сечении рассматриваемого потока распределяются по параболическому закону.

Так как z ≤ h, а скорость имеет одинаковое направление с положительным направлением оси Ох, то должно быть отрицательно (давление падает по направлению течения).

Поскольку , то есть u_x = u = const, то из уравнения (3.55) следует, что

Это значит, что перепад давления вдоль каждой линии тока постоянен, а давление по длине потока падает по линейному закону.

Вычислим расход жидкости, протекающей через поперечное сечение нашего потока на ширине b. Имеем

Подставляя в подынтегральное выражение значение u из зависимости (3.55), после интегрирования получим

Откуда

и

где р_­1 и р₂ – гидродинамические давления в первом и втором сечениях, взятых на одной и той же линии тока.