14. Основы физического моделирования гидравлических явлений

14.1 Общие сведения

Существуют два вида моделирования.

1. Физическое моделирование. На модели воспроизводится изучаемое явление с сохранением его физических свойств, в натуре мы имеем дамбу, через которую фильтрует вода; модель тоже представляет собой дамбу (созданную в некотором масштабе), под которой также фильтрует вода. Физическое содержание процесса в натуре и на модели – одинаково. В порах грунта движется вода и в натуре, и на модели.

2. Математическое моделирование. В этом случае исследование натурных состояний или процессов выполняется путем изучения явлений, имеющих иное физическое содержание, но описываемых одними зависимостями. Примером такого моделирования может являться моделирование фильтрации через дамбу при помощи метода ЭГДА – электрогидродинамической аналогии. При этом мы рассматриваем движение не воды, а электрического тока. Оказывается, ламинарное движение грунтовой воды под дамбой в натуре и электрического тока в соответствующей области на модели подчиняется одному и тому же математическому уравнению Лапласа. К математическому моделированию относятся также расчеты тех или других процессов, выполняемые по специально составленным программам на ЭВМ. В этом случае процесс, согласно используемой программе, построен на базе математических уравнений, относящихся к действительности. Кроме того, существуют две разные категории самих моделей.

1. Воображаемые модели, которые создаются человеком мысленно, например модель идеальной жидкости. Обычно воображаемые модели являются неполными, т.е. не полностью отражающими действительность, упрощающие ее. Поэтому мы можем получать результаты недостаточно точные, в которые приходится вводить некоторые поправочные коэффициенты (устанавливаемые на основании специальных опытов).

2. Материальные модели, представляющие собой воспроизведенные в определенном масштабе соответствующие конструкции или процессы, имеющие место в действительности, с целью изучения таких процессов.

Мы рассмотрим только "материальное" физическое моделирование. Опыты с такими моделями приходится проводить в следующих случаях: 1) для получения общих экспериментальных расчетных зависимостей; 2) с целью проверки тех или других теоретических соображений; 3) для уточнения соответствующих проектных данных для конкретного сооружения.

Основой моделирования, относящегося к механике жидкости, является теория подобия, поэтому рассмотрим прежде всего вопрос о механическом подобии двух гидравлических систем (модели и натуры).

14.2 Понятие о подобии гидравлических явлений

Представим себе две геометрически подобные фигуры. Условимся сходственными точками двух этих фигур называть точки, одинаково расположенные по отношению к границам этих фигур. При физическом моделировании принимаем, что в сходственных точках натуры и модели на частицы жидкости действуют силы одной и той же физической природы (так называемые одноименные силы).

При физическом моделировании гидравлических явлений следует различать геометрическое, кинематическое и динамическое подобие.

1. Геометрическое подобие. Две гидравлические системы будут геометрически подобными, если между сходственными размерами этих систем существует постоянное соотношение:

, (14.1)

где – некоторый размер действительного сооружения;

– сходственный размер модели;

– масштаб длин;

, , (14.2)

где , – площадь и объем, относящиеся к действительному сооружению;

, – сходственные площадь и объем модели.

2. Кинематическое подобие. Две гидравлические системы будут кинематически подобными, если скорости частиц во всех сходственных точках натуры и модели пропорциональны между собой:

, (14.3)

где – масштаб скорости.

Кинематически подобные системы всегда будут геометрически подобными.

В связи с кинематическим подобием возникает понятие масштаба времени:

, (14.4)

где , – промежутки времени, в течение которых протекают соответственные явления на модели и в натуре.

Если какая-либо частица жидкости в действительных условиях прошла за время некоторый путь , то сходственная частица модели за время должна пройти путь , причем кривая должна быть геометрически подобна кривой .

3. Динамическое подобие. Две гидравлические системы будут динамически подобными, если выполняются следующие условия:

а) на частицы жидкости в сходственных точках натуры и модели действуют одноименные силы (одной и той же природы);

б) отношения между всеми действующими в сходственных точках этих потоков одноименными силами, рассчитанными на единицу объема жидкости, одинаковы:

, (14.5)

где F – любая сила, действующая на жидкость;

в) силы, действующие в натурном потоке, ориентированы относительно друг друга и относительно границ так же, как и в модельном.

Для двух динамически подобных систем (натуры и модели) замкнутые многоугольники сил, построенные для любой пары сходственных точек натуры и модели, получаются геометрически подобными.

Динамическое подобие может иметь место только при наличии кинематического, а значит и геометрического подобия. Следовательно, динамически подобные системы являются механически подобными системами. Для динамически подобных систем возникает понятие масштаба плотности жидкости:

, (14.6)

где и – соответственно плотность жидкости в модельном и в натурном потоках.

Для динамически подобных систем мы получаем следующие соотношения:

а) для коэффициентов местного сопротивления

; (14.7)

б) для коэффициентов гидравлического трения

; (14.8)

в) для коэффициентов Шези

. (14.9)

Из сказанного следует, что для такого рода динамически подобных систем масштабы коэффициента местного сопротивления , коэффициента гидравлического трения и коэффициента Шези равны единице:

= = = 1. (14.10)

В качестве примера рассмотрим безнапорное движение, отвечающее квадратичной области сопротивления. Согласно Шези, имеем:

(14.11)

Для геометрически подобных систем при безнапорном движении , поэтому

. (14.12)

Для динамически подобных систем, запроектированных для квадратичной области сопротивления, всегда должно иметь место условие:

. (14.13)

Подставляя выражение (14.13) в (14.12), получаем соблюдение условия (14.9).

Поэтому, создавая в лаборатории модель сооружения, стремятся сделать ее так, чтобы поток, получающийся в лаборатории, был динамически подобен действительному потоку. Величины  и С, найденные для такой модели, можно без всякого изменения переносить на натуру.

Каким же образом следует проектировать модель потока, чтобы она получилась динамически подобной действительному потоку? При этом возникают сложности, обусловленные тем, что величины сил, скоростей, давлений и других параметров обычно бывают неизвестны для различных точек интересующей нас области, так как отыскание этих величин и является целью создания модели. Для достижения динамического подобия в этом случае поступают следующим образом:

а) создают модель потока, геометрически подобного натурному потоку;

б) на одной из границ модельного потока в начальный момент времени задают соответствующие геометрические и кинематические параметры, подобные известным параметрам на сходственной границе действительного потока;

в) жидкость, применяемую в опытах, выбирают с такими физическими характеристиками (, ), чтобы на фиксируемой границе потока имело место динамическое подобие.

Поскольку физическое явление в натуре и на модели описывается одними и теми же математическими уравнениями, то при наличии подобных граничных и начальных условий мы воспроизводим в геометрически подобном потоке модели явление, динамически подобное искомому. Необходимо отметить, что, следуя указанному теоретически обоснованному пути моделирования, нам практически далеко не всегда удается создать модель, динамически подобную натуре. Поэтому часто приходится отклоняться от такого теоретического пути и прибегать к различным "условным" методам моделирования (применять модели, построенные в искаженном масштабе, и т.п.).