6.1 Потери напора при резком расширении напорного трубопровода (формула Борда).

На рисунке показан случай, когда труба, имеющая диаметр D₁, переходит в трубу, имеющую больший диаметр D₂ (D₂> D₁).

Рис. 6.2

Струя, выходящая из первой трубы, на некоторой длине l_в (в связи с наличием продольных сил трения, действующих на боковой её поверхности) расширяется и в сечении 2’-2’ заполняет всё сечение второй трубы. На длине l_в струи имеет место её отрыв от стенок и образование водоворотной зоны А, имеющей в данном случае кольцевую форму. Струя между сечениями 1-1 и 2-2 может иметь несимметричный вид. На протяжении расширяющейся струи и переходного участка (между сечениями 2’-2’ и 2-2) получаем неравномерное движение, местами резко изменяющееся.

Между сечениями 1-1 и 2-2 возникает местная потеря напора h_j. Эту потерю напора назовём потерей напора на резкое расширение (р.р.) потока и далее будем обозначать её через (h_j)_р.р. или просто через h_р.р.. Впервые расчётную зависимость для h_р.р. получил французский военный инженер Борда в 18 веке, который уподобил резкое расширение струи явлению удара неупругих твёрдых тел. В связи с этим потерю h_р.р. иногда называют потерей напора на удар.

Выведем формулу Борда, пользуясь гидравлическим уравнением кинетической энергии (уравнение Бернулли) и гидравлическим уравнением количества движения (рассматривая эти два уравнения как систему уравнений). Решая совместно эти два уравнения, получаем возможность выделить работу внутренних сил трения, обусловливающих искомую потерю напора.

Соединим сечения 1-1 и 2-2 уравнением Бернулли. В результате получаем

Для упрощения рассуждений будем рассматривать только горизонтальную трубу. В районе сечений 1-1 и 2-2 имеем равномерное движение и потому коррективы кинетической энергии и для этих сечений будем считать равными единице. При этом (6.1) перепишем в виде:

Разность давлений ( найдём, пользуясь гидравлическим уравнением количества движения, которое приложим к отсеку abcd, соединив этим уравнением сечения 1-1 и 2-2.

Проекция на произвольно намеченную ось S приращения количества движения δ(КД) движущегося тела равна сумме проекций на ось S импульсов внешних сил (ИС), действующих на тело, за соответствующий промежуток времени. Данную теорему условно можно написать в виде:

или в рассматриваемом случае

где - корректив количества движения, который для сечения 1-1 и 2-2 примем равным единице; - проекция на направление движения внешней силы трения Т₀, действующей со стороны стенок трубы на рассматриваемый отсек жидкости abcd. Так как длина участка потока между сечениями 1-1 и 2-2 невелика, то силой Т₀ пренебрегаем и считаем, что (первое допущение); – проекция собственного веса отсека на направление движения, ; - сумма проекций на ось S сил гидродинамического давления , действующих соответственно на торцовые сечения 1-1 и 2-2 выделенного отсека транзитной струи (со стороны жидкости, находящейся слева и справа от этого отсека); – проекция на направление движения реакции стенок (без учёта сил трения); величина , где сила - давление вертикальной стенки ad, имеющей кольцевую форму, на жидкость.

Величину можно представить в виде

Поскольку в сечении 2-2 мы имеем равномерное движение, то давление в нём распределяется по гидростатическому закону. Примем, что давление по всему сечению 1-1 (по площади ad, охватывающей транзитную струю и водоворотную область) распределяется также по гидростатическому закону (второе допущение). При этом можем написать:

где – гидродинамические давления в центрах тяжести сечений 1-1 (круга ad) и 2-2 (круга bc); - площадь сечения второй трубы. Подставляя (6.6) и (6.7) в (6.5), находим:

Учитывая (6.8), уравнение (6.4) переписываем в виде.

Откуда, имея в виду, что

получаем

Подставляя (6.10) в (6.2), имеем:

или окончательно

где разность называют потерянной скоростью. Формула (6.12) называется формулой Борда. Согласно этой формуле потеря напора при резком расширении равняется скоростному напору, отвечающему потерянной скорости.

Преобразование формулы Борда

Вынесем за скобки, тогда получим:

Обозначая

имеем

где - коэффициент сопротивления при резком расширении потока.

Местная потеря напора, получающаяся при выходе потока из трубы в бассейн больших размеров.

Эту потерю называют потерей «на выход», её обозначают через . Данный случай является частным случаем предыдущего, когда значительно больше , ( ). Имея это в виду, можем написать в соответствии с формулой (6.14), что

а следовательно потеря на выход будет