1.2.2.Переменная ставка

Ставка процентов не является застывшей на вечные времена величиной, поэтому в финансовых операциях, в силу тех или иных причин, предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. Например, наличие инфляции вынуждает собственника денег периодически варьировать процентной ставкой.

В том случае, если на последовательных интервалах начисления процентов n1, n2, n3,…, n_m устанавливаются разные процентные ставки r₁, r₂, r₃,…, r_{m ,} то наращенная сумма может быть определена как

FV=PV*(1 + n_k*r_k) = PV*k_n ( 1‑0)

где коэффициент наращения (k_n)

k_n =(1 + n_k*r_k) ( 1‑0)

Пример 1‑3

Сумма в размере 2000 рублей дана в долг на 1 год по схеме простого процента под 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.

Решение:

Наращенная сумма:

FV = PV (1 + n *r ) = 2000 (1 + 1 * 0.1) = 2200 руб.

или

FV = PV * k_н = 2000 * 1,1 = 2200 руб.

Сумма начисленных процентов:

I = PV * n * r = 2000 * 1 * 0,1 = 200 руб.

или

I = FV - PV = 2200 - 2000 = 200 руб.

Таким образом, через год необходимо вернуть общую сумму в размере 2200 рублей, из которой 2000 рублей составляет долг, а 200 рублей – "цена долга (процентные деньги).

Пример 1‑4

Ссуда выдана под 10% годовых сроком:

а) на 5 месяцев;

б) на 3 месяца.

Определить процентную ставку за срок ссуды.

Решение.

а) n = 5/12 =0.42 r_{5 мес} = 0,1 * 5/12 = 0. 0417;

б) n = 3/12 =0,25; m = 4; r =0,1/4 = 0,025

Пример 1‑5

Ссуда в размере 50000 руб. выдана на полгода по простой ставке 14% годовых. Определить наращенную сумму и сумму начисленных процентов.

Решение

Наращенная сумма

FV = PV (1 + n *r ) =50000*(1+0,5*0,14) = 53500 руб.

Сумма начисленных процентов

I = FV – PV= 53500-50000=3500 руб.

Пример 1‑6

Определить сумму вклада, который надо положить в банк сроком на 2 месяца под 10% годовых, чтобы к концу срока получить 110 000 руб.

Решение

FV=110000/(1 + 0,1 * 2/12) = 108196.7 руб.

Пример 1‑7

Клиент внес вклад в банк в сумме 1 тыс. руб. сроком на 1 год. Процентная ставка до середины второго квартала составляла 30 % годовых, далее до конца третьего квартала - 25 %, а с начала четвертого квартала - снова 30%. Какую сумму клиент получил в конце года?

Решение.

Периоды;

с начала года до середины второго квартала (n₁) равен 4,5 месяца, или 0,375 года;

от середины второго квартала до конца третьего (n₂) равен 4,5 месяца, или 0,375 года;

с конца третьего квартала до конца четвертого (n₃) равен 3 месяца, или 0,25 года

Коэффициент наращения:

за период до середины второго квартала –

k₁ = 0, 3 * 0, 375 = 0,113,

от середины второго квартала до начала четвертого квартала –

k₂ = 0,25*0,375 =0,094.;

за четвертый квартал ­– k ₃=0, 3 * 0, 25 = 0,.075

за год k год = k₁ + k₂ + k₃ =0,281

В результате в конце года клиент получит сумму:

FV = PV *(1+ k год ) = 1281,25 руб.

1.2.3.Определение срока ссуды и величины процентной ставки

Мы уже отмечали, что для любой финансовой операции всегда характерны четыре величины:

• современная величина (PV),

• наращенная или будущая величина (FV),

• процентная ставка (r)

• время (n).

Как правило, при проведении финансовых операций обязательно фиксируются сроки, даты, периоды начисления процентов, так как фактор времени ( как мы уже отмечали) в финансово-коммерческих расчетах играет важную роль. Однако, достаточно часто возникают ситуации, когда срок финансовой операции в условиях конкретной финансовой сделки не может быть оговорен заранее, а когда определяется при достижении какой-то цели финансовой операции (конечной или промежуточной).

Подобным же образом может обстоять дело и с определением величины процентной ставки. Так, например, на начальном этапе заключения коммерческой сделки нас могут интересовать только величины вложенных (PV) и полученных сумм (FV). В тоже время при анализе эффективности этой сделки возникает вопрос степени ее доходности.

Эти величины могут быть легко определены из приведенных выше формул определения наращения вложенной суммы по схеме простых процентов.

FСрок финансовой операции может быть определен как:

при определении срока в годах

n = (FV - PV) / (PV *r) ( 1‑0)

при определении срока в днях t = [(FV - PV) / (PV * r)] * T.

FПроцентная ставка может быть определена как

r = (FV - PV) / (PV * n) = [(FV - PV) / (PV * t)] * T. ( 1‑0)

Пример 1‑8

За какое время может быть накоплена сумма в 2000 долларов, если сегодня мы можем оформить депозитный вклад 1000 долларов под 10% годовых

Решение

n = (FV - PV) / (PV *r)= (2000-1000)/(1000*.08) = 12.5 года

Пример 1‑9

На сколько дней можно дать в долг 1'000 долларов, исходя из 8% годовых, если возвращенная сумма должна составлять 1100 долларов

Решение

t = [(FV - PV) / (PV *r)] * T.= (1100-1000)/(1000*0.08)*360 =450 дней

Пример 1‑10

В контракте предусматривается погашение обязательств через 120 дней в сумме 1200 долларов, при первоначальной сумме долга 1150 долларов. Определить доходность операции для кредитора в виде процентной ставки.

Решение:

Рассчитываем годовую процентную ставку, используя формулу "обыкновенного процента", поскольку в условиях сделки нет ссылки на "точный процент":

r = [(FV - PV) / (PV * t)] *T =

= [(1200 - 1150) / (1'150 * 120)] * 360 = 0,13

Пример 1‑11

Банк выдал ссуду в размере 100000 рублей сроком:

а) на 5 месяцев;

б) на 3 месяца.

Какими должны быть процентные ставки с тем, чтобы доход банка (не зависимо от срока ссуды) составил 120000 рублей?

Решение.

Используя формулу 4-8, находим:

а) r = [(FV - PV) / (PV * t)] * T =

= [(120000 - 100000) / (100000 * 5)] * 12 =0.48

б) r = [(FV - PV) / (PV * t)] * T =

=[(120000 - 100000) / (100000 * 3)] * 12 =0.8