1.3.Сложные проценты

В финансовой практике основная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.

Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

• проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;

• срок ссуды более года.

Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга.

За первый период начисления

FV₁ = PV +I = PV *r = PV*(1+ r);

ØЗа два периода начисления при условии капитализации ранее наращенной суммы

FV₂ = FV₁ *(1+r)=PV*(1+ r)²

…….

Øза n периодов начисления формула примет вид:

FV = PV • (1 + r)ⁿ = PV • k_н , ( 1‑0)

где:

ð FV – наращенная сумма долга;

ð PV – первоначальная сумма долга;

ð r – ставка процентов в периоде начисления;

ð n – количество периодов начисления;

ð k_н – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов¹⁰.

Эта формула (1-20) называется формулой сложных процентов.

Таким образом, накопление капитала по схеме сложных процентов об­разует возрастающую числовую последовательность PV, FV ₁ , FV₂ ,… FV_n которая представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом –PV .

Геометрический рост по правилу сложных процентов при n > 1 обгоняет арифметическую прогрессию простых процентов. Так, например, трижды заработав на вложенные 10 тыс. руб. проценты (процентные деньги) по 1,5 тыс. руб. в год, вкладчик имеет в конце срока = 10 000 + 3*1 500 = 14,5 тыс. руб., тогда как наращение сложными процентами приносит ему будущую стоимость 15,209 тыс. руб. При удлинении срока вклада эта тенденция усиливается.

Рис. 1‑4 Рост вложенной суммы при начислении простых и сложных процентов по одинаковой ставке r.

Рис. 1‑5 Фрагмент рисунка 1-4

Как видно из рисунка 1-5, при краткосрочных ссудах (менее одного года) начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.

При любом r,

• если 0 < n < 1, то (1 + n*r) > (1 +r)ⁿ;

• если n = 1, то (1 +n*r) = (1 + r)ⁿ .

• если n > 1, то (1 + n*r) < (1 + r)ⁿ;

Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:

• более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);

• более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;

• обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

Нетрудно заметить, что величина FV существенно зависит от значений r и n. Например, будущая величина суммы всего в 1,рубль при годовой ставке 15% через 100 лет составит 1174313,45 рублей!!!

На рис. 1-6 приведен график, отражающий рост суммы в 1,00 при различных ставках сложных процентов.

Рис. 1‑6 Рост суммы в 1.00 по ставкам сложных процентов

Примечание

Как мы уже отмечали, различие начисления простых и сложных процентов состоит в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу.

Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.

Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:

(1 + r).

Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:

(1 + r) ⁿ .

Базисные темпы роста или коэффициенты (множители) наращения, зависящие от процентной ставки и числа периодов наращения, могут быть легко табулированы ( Приложение 2)и использованы при проведении финансовых расчетов. Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке r.

Пример 1‑12

Сумма в размере 15 000 рублей дана в долг на 2 года по ставке процента равной 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.

Решение:

Наращенная сумма

FV = PV * (1 + r)*n =15000 *(1 + 0'1)² =

или

FV = PV * k_н = 15000 * 1,21 = 18150 рублей,

где k_н¹¹ = 1,21

Сумма начисленных процентов

I = FV - PV = 18150 - 15000 = 3150 рублей

Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в размере 18150 рублей, из которой 15000 рублей составляет долг, а 3150 рублей– "цена долга".

Пример 1‑13

Сумма в 10000 помещена в банк на депозит сроком на 4 года. Ставка по депозиту – 10% годовых. Проценты по депозиту начисляются раз в год. Какова будет величина депозита в конце срока?

Решение

По условиям данной операции известными величинами являются:

Первоначальная сумма вклада PV = 10000,

процентная ставка r = 10%,

срок n = 4 года.

FОпределим будущую величину вклада:

ðна конец первого периода:

FV₁ = PV + PV* r = PV*(1 + r) = 10000*(1 + 0,1) = 11000.

ðдля второго периода величина FV будет равна:

FV₂ = FV₁ + FV_1* r = PV*(1 + r) + PV*(1 + r)*r =

PV*(1 + r)² = 10000*(1 + 0,1)² = 12100.

ðДля последнего периода (n = 4):

FV₄ = FV₃ + FV_3* r = PV*(1 + r)⁴ = 10000*(1 + 0,1)⁴ = 14641.