1.Изменение стоимости вложений за счет присоединения процентов

Рассмотрим процесс наращения (accumulation), т.е. определения денежной суммы в будущем, исходя из заданной суммы сейчас.

Экономический смысл операции наращения состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Здесь идет движение денежного потока от настоящего к будущему.

Величина FV показывает будущую стоимость "сегодняшней" величины инвестиции PV при заданном уровне интенсивности начисления процентов r

r

PV FV

Рис. 1‑1 Логическая схема операции наращения

Существуют различные способы начисления процентов и соответствующие им виды процентных ставок

Рис. 1‑2 Типы процентных ставок

П ростая процентная ставка	применяется к одной и той же первоначальной сумме долга на протяжении всего срока ссуды, т.е. исходная база (денежная сумма) всегда одна и та же.
С ложная процентная ставка	применяется к наращенной сумме долга, т.е. к сумме, увеличенной на величину начисленных за предыдущий период процентов, – таким образом, исходная база постоянно увеличивается.
Фиксированная процентная ставка	ставка, зафиксированная в виде определенного числа (сумы) в финансовых контрактах.
П лавающая процентная ставка	привязанная к определенной величине, изменяющейся во времени, включая надбавку к ней (маржу), которая определяется целым рядом условий (сроком операции и т.п.). Основу процентной ставки составляет базовая ставка, которая является начальной величиной.
Постоянная процентная ставка	неизменная на протяжении всего периода ссуды.
П еременная процентная ставка	дискретно изменяющаяся во времени, но имеющая конкретную числовую характеристику.

1.1.Основные категории финансово-экономических расчетов

В финансовой математике широко представлены все виды статистических показателей: абсолютные, относительные и средние величины.

В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины:

• время (n)

• современная величина (PV),

• наращенная или будущая величина (FV),

• процентная ставка (r)

При изложении материала далее используются следующие термины и обозначения:

Fn – Срок погашения долга (англ. number of periods) – интервал времени, по истечении которого сумму долга и проценты нужно вернуть. Срок измеряется числом расчетных периодов – обычно равных по длине подитервалов времени, в конце (или начале) которых начисляются проценты. Традиционно в финансовых расчетах время измеряется в годах, а процентная ставка берется годовая, хотя возможны и другие измерители времени – квартал, месяц, день, на которые может устанавливаться ставка. Все эти условия оговариваются в договоре о предоставлении кредита. Ссуда может выдаваться на любой срок, с любой даты, по любую дату. Первый и последний дни обычно считаются за один день. В разных странах и даже в разных банках одной страны срок ссуды в годах исчисляется по-разному.

Если начисление процентов будет производиться m раз в год, а срок погашения долга – n лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составит

N = n • m (1‑0)

FPV – текущая стоимость (англ. present value) – исходная сумма или оценка современной величины денежной суммы, поступление которой ожидается в будущем, в пересчете на более ранний момент времени;

FFV – будущая стоимость (англ. future value) – наращенная сумма или будущая стоимость, т.е. первоначальная сумма долга с начисленными на нее процентами к концу срока ссуды;

FI – Процентные деньги (англ. interest² money), называемые часто коротко "проценты", представляют собой абсолютный доход от предоставления долга.

I= FV-PV ( 1‑0)

Оценка эффективности финансовых операций по величине процентных денег на практике используется достаточно редко, так сама их величина, не учитывающая фактор времени, мало что может сказать о реальной доходности операции. ­ Необходимо иметь возможность сопоставить ее с темпом обесценивания денег (инфляции) или результатами другой финансовой операции. Поэтому в финансово-экономических расчетах наиболее широко пользуются относительные показатели:

Fr – процентная ставка³ (rate of interest ), характеризующая интенсивность начисления процентов за единицу времени,– отношение суммы процентных денег, выплачивающихся за определенный период времени, к величине ссуды. Этот показатель выражается либо в долях единицы, либо в процентах.

r =I/PV = (FV – PV) / PV ( 1‑0)

Этот коэффициент (r) показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной вложенной суммы, т.е. по существу является базисным темпом роста.

Если соотнести сумму процентов (FV – PV) не с PV, а с будущей стоимостью FV, наращенной по мере присоединения процентов, то получим другую меру эффективности – темп снижения

d = (FV – PV) / FV, ( 1‑0)

называемый учетной ставкой (англ. discount rate), или дисконтный множитель (норма банковского дисконтирования)⁴.

Таким образом, дисконтирование – приведение будущих денег к текущему моменту времени, а дисконтный множитель ( d) показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы.

Различие в ставке процентов и учетной ставке заключается в различии базы для начислений процентов⁵:

в процентной ставке в качестве базы берется первоначальная сумма долга:

r = (FV - PV) / PV ( 1‑0)

в учетной ставке за базу принимается наращенная сумма долга:

d = (FV - PV) / FV ( 1‑0)

При равной величине процентных денег (I=FV-PV) величина процентной ставки выше величины учетной ставки. А в случае, когда процентная и учетная ставка равны по своей величине, ­– приведенная величина (FV) по процентной ставке меньше ее значения по учетной ставке.

Процентная ставка может быть легко найдена по известной величине учетной ставки

(FV - PV) = d*FV = r*PV ( 1‑0)

r = d*(Fv/PV) (1‑0)

d = r*(PV/FV) ( 1‑0)

Пример 1‑1

Вы заняли сегодня 100 руб., дав обязательство вернуть к указанной дате 120 руб.

Оценим доходность этой сделки для кредитора величинами процентной (r) и учетной (d) ставок, приняв весь период между двумя моментами времени за полный срок договора, приняв его за единицу времени n=1.

Решение

PV = 100 руб., FV = 120 руб., I=(FV – PV) = (120 – 100) = 20 руб., r = 20/100 = 20%, d= 20/120 = 16.67%.

Пример 1‑2

Несколько изменим задание предыдущего примера.

Вы обратились к кредитору с просьбой о займе 100 руб. (PV) на срок 1 год (n=1).

Какую сумму сможет получить кредитор по окончании срока займа, при процентной и учетной ставке =20%?

Решение.

Из формул 2-5 и 2-6 определим величины FV для процентной и учетной ставок:

FV_проц = PV* (1+r) ( 1‑0)

FV_учетн = PV/(1-d) ( 1‑0)

Отсюда при r =d =0.2:

FV_проц =100 руб.*(1+0.2) =120руб.

FV_учетн=100 руб./(1-0.2) = 125 руб.