2.9 Конические сечения в поле тяготения
Исследуйте «открытые гиперболические орбиты». Определите радиус, координаты центра и центральный угол кругового годографа вектора скорости, а также зависимость угла между асимптотами гиперболической траектории от начальной скорости.
Рис.11. Параболическая траектория в поле тяготения
Указание. Общие свойства конических сечений приведены в [33]. Исследовать траектории в поле тяготения при различных начальных условиях. Построить графики конических сечений.
2.10 Прецессия орбиты при малом возмущении
Вызванное искажение гравитационного поля Земли в результате суточного вращения приводит к прецессии орбиты спутника, т.е. к срав-нительно медленному вращению эллиптической орбиты с фокусом в центре Земли вокруг этого фокуса. Из законов сохранения энергии и момента импульса следует, что максимальное и минимальное расстояния спутника от Земли не изменяется от витка к витку при прецессии его орбиты.
Искажение центрального поля тяготения, вызванное вытянутостью вдоль оси, описывается малым дополнительным членом обратно пропорциональным четвертой степени расстояния. Отклонения от закона обратных квадратов для силы притяжения могут быть учтены малой поправкой d в уравнении: F~1 / r2+d.
У Земли реальная сплюснутость мала, поэтому большая ось эллиптической орбиты за один поворот спутника поворачивается на очень малый угол, однако этот эффект накапливается за большое число оборотов по орбите.
Рис.12. Прецессия орбиты при малом гравитационном возмущении
Указание. Для большей наглядности начальные условия нужно задавать так, чтобы орбита спутника была сильно вытянутой (начальная скорость должна заметно отличаться от круговой).
2.11 Задача трех тел в небесной механике
При изучении астрофизики необходимо отметить, что существующая иерархия масс небесных тел позволяет в ряде случаев рассматривать квазизамкнутые системы, состоящие из части взаимодействующих (гравитирующих) тел, обладающих наибольшими массами, поскольку на них наименее массивные объекты оказывают незначительные воздействия. А лишь после того, как поступательные движения массивных тел (например, больших планет Солнечной системы) определены, удается исследовать отдельную задачу о движении менее массивных тел (астероидов, комет) уже при условии, что силы, управляющие их движениями, будут известны.
В связи с этим фундаментальную основу небесной механики составляет задача N гравитирующих материальных точек (N тел), состоящая в определении по начальным положениям и скоростям характера движения в трехмерном евклидовом пространстве изолированной системы, состоящей из N материальных точек с фиксированными массами, притягивающих друг друга по закону всемирного тяготения [15].
Но необычайная сложность поиска общего решения уже задачи 3-х тел, математическая модель которой представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, привела к тому, что именно эта знаменитая “ньютонова проблема трех тел” на протяжении трех веков играла определяющую роль в развитии математических методов и в возникновении новых плодотворных направлений в математике, небесной механике, вычислительной физике.
Особенность многомерных канонических систем с числом степеней свободы больше двух связана и с явлением динамического хаоса (стохастичностью), когда траектории системы могут представлять собой реализацию случайных временных процессов, несмотря на то, что в системе непосредственно отсутствуют какие-либо внешние случайные силы. Главная черта хаотических систем состоит в том, что малое возмущение начальных условий приводит за конечное время к непредсказуемости результирующего движения. Динамический хаос обусловлен существованием специфической локальной неустойчивости относительно малых возмущений орбит системы, он присущ только нелинейным системам и непосредственно связан с их неинтегрируемостью.
Рис.13. Хаотическая траектория в задаче трех тел
Орбиты можно разделить на устойчивые и неустойчивые. Устойчивыми орбитами могут быть открытые петли, охватывающие обе звезды, орбиты в виде восьмерок или кеплероподобные орбиты вокруг только одной звезды. В случае неустойчивых (хаотических) орбит возможно падение на одну из звезд [46].
Указание. В динамических уравнениях необходимо учесть все силы, действующие в системе многих тел и модифицировать программу вычислительного эксперимента (слайд 10) .