7. Задача Кеплера

В результате длительной обработки многолетних наблюдений датско­го астронома Тихо Браге (1546-1601) немецкий ученый Кеплер эмпири­чески установил три закона планетных движений. Эти законы формули­руются следующим образом:

1) каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце;

2) радиус-вектор планеты в равные времена описывает равные площади;

3) квадраты времен обращений планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца.

Первые два закона были опубликованы Кеплером в 1609 г., последний- в 1619 г. Законы Кеплера естественным путем привели Ньютона к откры­тию закона всемирного тяготения.

Из первого закона Кеплера следует, что траектория планеты- плоская кривая. С учетом этого обстоятельства, из вто­рого закона Кеплера следует, что сила, заставляющая планету двигаться по замкнутым орбитам, направлена к Солнцу.

При рассмотрении планетных движений можно не учитывать движение Солнца, считая его массу бесконечно большой по сравнению с массой пла­неты. При формальном учете массы солнца динамика такова, как если бы Солнце оставалось непод­вижным, но гравитационная постоянная увеличилась в (1 + т/М) раз. Поэтому для относительного движения первый и второй законы Кеплера остаются справедливыми. Зато третий закон должен быть уточнен. Для это­го достаточно гравитационную постоянную G заменить на G(1 +m/M). Это приводит к соотношению . То обстоятельство, что для планет Сол­нечной системы закон выполняется с большой точностью, связано с тем, что масса планеты очень мала по сравнению с массой Солнца.

Динамические уравнения движения массы в поле тяготения имеют вид:

После несложных преобразований система уравнений приводится к виду в декартовых координатах:

Рис.10. К задаче Кеплера

Указание. Исследовать движения планет Солнечной системы и законы Кеплера в задаче двух тел. Построить траектории.

Не умаляя общности решения, можно задать следующие начальные усло­вия (t=0): x=a, y=0, v_x=0, v_y=v(0). Начальную скорость удобно задавать в едини­цах скорости, соответствующей круговой орбите. Начальная скорость боль­ше круговой (из интервала от 1 до 1.4) и начальная точка траектории является перигеем.

Слайд 10. Компьютерно-графическое моделирование в небесной механике

2.8 Орбита в пространстве скоростей

Линия, соединяющая концы всех векторов скорости, проведенных из одной точки, называется годографом вектора скорости (траектория в пространстве скоростей). Кеплерово движение по замк­нутым траекториям обладает интересным свойством: для любых эллиптических траекторий годограф вектора скорости всегда представляет собой окружность с радиусом u=GmM/L (L- величина углового момента) [16].

Для круговой орбиты центр этой окружности совпадает с общим началом всех векторов скоростей. Для эллиптической орбиты центр окружности смещен из об­щего начала и расположен на векторе скорости в перигее орбиты. Данное свой­ство кеплерова движения позволяет находить значение скорости в любой точке эл­липтической траектории, если известны скорости в перигее и апогее.

Указание. Постройте орбиту в про­странстве скоростей (Vx,Vy). Убедитесь в том, что в каждый момент времени радиус-вектор перпендикулярен скорости u. Объясните этот факт.