Задачи аналитического и численного моделирования
1. Симметрия и модели с числовыми последовательностями
1.1 Формула пути равнопеременного движения
Получим
формулу пути в кинематике равноускоренного
движения
методом
численного интегрирования.
Нетрудно убедиться в том, что данная дискретная модель основана на допущении существования физически бесконечно малых промежутков времени, на которые можно разбить интервал времени движения тела. Предполагается, что скорость движения тела в каждый малый промежуток времени постоянна (т.е. движение равномерно) и меняется мгновенно в конце каждого промежутка (второстепенные факторы моделирования). При неограниченном увеличении числа отрезков разбиения мы получим в результате точную кинематическую формулу пути при равноускоренном движении, причем главными факторами моделирования являются начальная скорость, ускорение и время движения.
Разобьем
интервал времени движения на n
равных частей. Величина каждой составляет
(c).
В течение первого промежутка времени
тело движется с начальной скоростью
(м/с).
На следующем отрезке времени - со
скоростью
,
в течение третьего промежутка времени
скорость будет равна
и т.д. Нетрудно видеть, что скорости
образуют арифметическую прогрессию с
первым членом
и разностью
.
Для
нахождения пути пройденного телом
воспользуемся формулой для суммы n
членов арифметической прогрессии
.
Таким образом, в нашем приближении получаем:
.
Подставляя
,
получим
.
Точность полученной математической
модели определяется слагаемым
,
причем предел
соответствует точному решению задачи.
1.2 Парадокс Зенона в кинематике равномерного движения
|
Догонит ли Ахиллес черепаху? Ахиллес, скорость которого V, хочет догнать черепаху, ползущую от него со скорость v<V, если начальное расстояние между Ахиллесом и черепахой d1 [2]. Заметим, что промежутки времени t1, t2, t3… образуют бесконечно убывающую геометрическую прогресс-
|
сию
с первым членом
и
знаменателем
.
Таким образом, Ахиллес догонит черепаху
за конечное время.
Расстояния,
проходимые Ахиллесом определяются
рекуррентным соотношением
,
а полное время движения Ахиллеса и
черепахи определяется суммой ряда:
,
где
(слайд 1).
Слайд 1. Иллюстрация сходимости геометрической прогрессии в кинематике
1.3 «Золотое сечение» и числа Фибоначчи
Затрагивая межпредметные связи естествознания, геометрии и математического анализа, вспомним слова И.Кеплера: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении…Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень».
Пропорция в искусстве также определяет соотношение величин элементов художественного произведения либо соотношение отдельных элементов и всего произведения в целом. В эстетике пропорция, как и симметрия, является составным элементом категории меры и выражает закономерность структуры эстетического образа [9].
В пропорции художники видели объективную основу красоты, по крайней мере, формы прекрасного. Не все художники желали рассматривать искусство лишь как плод безудержной фантазии и чистой интуиции. И те из них, кто пытался постигнуть объективные законы прекрасного, находили, прежде всего, в пропорции.
Мы уже отмечали, что симметрия воспринимается слишком статично, скованно и только единство симметрии и асимметрии создает подлинную гармонию красоты. Так вот, в качестве меры соотношения симметричного и асимметричного часто и выступает пропорция.
Возьмем простой пример: деление отрезка прямой. Если отрезок разделить пополам, зеркально-симметрично, то такое деление выглядит уравновешенным, мертвым. Если же точку деления взять слишком близко к одному из концов отрезка, то новая конфигурация будет чересчур неуравновешенной и беспокойной. Только некоторая «золотая середина», которая в данном случае отнюдь не является геометрической серединой, обеспечит нам желаемое единство симметрии и асимметрии.
Такое «радующее глаз» деление отрезка, по преданию, было известно еще Пифагору и называлось им золотой пропорцией. Впрочем, скорее всего золотая пропорция была заимствована Пифагором у древних египтян, которые знали ее задолго до Пифагора, и которых он посетил в своих странствиях по свету. Золотая пропорция определяется делением отрезка на две неравные части, при котором меньшая из них так относится к большей, как последняя ко всей длине отрезка [12].
С тех пор золотая пропорция становится общепризнанным каноном искусства. Художник и инженер Леонардо да Винчи, изучавший и восхвалявший золотую пропорцию на протяжении всей своей жизни, называет ее «Sectio aurea» (золотое сечение), а математик и астроном Иоганн Кеплер, обнаруживший золотую пропорцию в ботанике, говорит о ней как о бесценном сокровище, как об одном из двух сокровищ геометрии и именует ее «Sectio divina» (божественное сечение). Название Леонардо да Винчи сохранилось и сегодня.
Геометрические свойства золотого сечения в числе других были с восторгом описаны в 1509 г. в книге монаха ордена францисканцев Луки Пачоли (ок. 1445 - ок. 1514 гг.) «О божественной пропорции». Пачоли приводит лишь тринадцать свойств золотого сечения (дабы почтить двенадцать апостолов и их учителя Христа), отмечая, что для перечисления всех свойств золотого сечения не хватило бы чернил и бумаги. Каждому свойству золотого сечения Пачоли ставит особый эпитет, говоря о его третьем исключительном свойстве,… о его четвертом невыразимом свойстве,... о его десятом возвышенном свойстве,... о его двенадцатом почти сверхъестественном свойстве...
Любопытно, что хорошо известная каждому современному школьнику задача о трубах, наполняющих бассейн, описана в книге Пачоли «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях», изданной в 1494 г.
Рассмотрим теперь ряд золотого сечения
,
причем
коэффициенты при Ф, образуют
последовательность натуральных чисел:
;
(1)
Последовательности, в которых каждый член определяется как некоторая функция предыдущих, называются рекуррентными или возвратными.
Последовательность, описанная выше, имеет древнюю историю. Она впервые была описана в 1202 г. в «Книге об абаке» итальянским купцом и математиком Леонардо из Пизы, известным более по его прозвищу - Фибоначчи (сын доброй природы). С тех пор последовательность (1) называется рядом Фибоначчи, а ее члены - числами Фибоначчи. «Книга об абаке» Фибоначчи была своего рода математической энциклопедией средневековья и сыграла заметную роль в развитии математики в Европе. Значительную часть этого трактата составляли задачи, одна из которых гласила: сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?
Слайд 2. Числа Фибоначчи в рекуррентных уравнениях
В заключение Фибоначчи пишет: «…мы складываем первое число со вторым, т. е. 1 и 2; и второе с третьим; и третье с четвертым; и четвертое с пятым; и так одно за другим, пока не сложим десятое с одиннадцатым, т. е. 144 с 233; и мы получим общее число упомянутых пар кроликов, т. е. 377; и так можно делать по порядку до любого числа месяцев».
Нетрудно убедиться (хотя не просто доказать):
;
.
Коэффициент
золотого сечения Ф
можно представить в виде цепной дроби:
.
Укажем еще одно представление золотого сечения, полученное в начале ХХ века, которое может вычисляться методами символьного программирования с использованием бинарных операторов:
Слайд 3. «Золотое сечение» в аналитических вычислениях на ПК