4.10 Метод Монте-Карло с генератором случайных чисел

Среди распространенных вероятностных математических методов отметим методы Монте-Карло к изучению которых приводит проблемная задача: каким образом можно с помощью кучи камней измерить площадь пруда? Предположим, что пруд расположен в центре поля известной площади S. Бросайте камни произвольным, случайным образом так, чтобы они падали в случайных точках в пределах поля, и считайте количество всплесков при попадании камней в пруд. Площадь пруда приблизительно равна площади поля, умноженной на долю камней, попавших в пруд [16]. Эта простая процедура является примером статистического метода Монте-Карло, названного в честь известного казино в Монако.

Поясним подробнее суть этого метода. Представим себе прямоугольник высотой H и длиной b-a такой, что функция f(x) лежит внутри него (рис.46).

Генерируем n пар случайных чисел , удовлетворяющих условиям и . Доля точек , которые удовлетворяют условию представляют собой оценку отношения интеграла от функции f(x) к площади прямоугольника. Отсюда оценка площади криволинейной трапеции S_n в методе "проб и ошибок" определяется выражением , где m - число "всплесков" или точек, лежащих под кривой, n^_ общее количество точек (испытаний), а S^_ площадь прямоугольника.

Другая разновидность метода Монте-Карло основывается на теореме "о среднем" (интеграл функции определяется средним значением подынтегральной функции на отрезке . ) Для вычисления этого среднего возьмем не с постоянным шагом, а случайным образом и произведем выборку значений f(x).

Рис.46. Геометрия метода Монте-Карло

Оценка одномерного интеграла методом "выборочного среднего" выражается формулой

, где ^_ случайные числа, равномерно распределенные на отрезке интегрирования (a,b)- ; random- функция генератора "случайных" чисел, равномерно распределенных на единичном отрезке (0,1), предусмотренном в различных системах программирования; n^_ число испытаний.

Рис. 47. «Шум» генератора «случайных» чисел

В качестве примера расчета интегралов этим методом рассмотрим нахождение центра масс и момента инерции твердых тел. Предположим, что масса распределена непрерывно с известной плотностью. Для простоты будем рассматривать двухмерные фигуры. Масса малого элемента площади dxdy равна , а полная масса тела равна

.

Пределы интегрирования определяются геометрией тела. Аналогично можно выразить координаты центра масс X, Y:

и . Если тело вращается вокруг оси z, то его момент инерции равен .

Вычисление приведенных интегралов методом "выборочного среднего" осуществляется просто. Например, обобщение метода выборочного среднего для вычисления момента инерции имеет вид:

,

где ^_ оценка для n испытаний, ^_ независимые случайные числа из области интегрирования S.

4.11 Алгоритмы числа

Первый расчет отношения длины окружности к ее диаметру принадлежит Архимеду (3 век до н.э.). Он установил, что 223/71 < < 22/7. Вызывает уважение тот факт, что ученый уже тогда не претендовал на установление точного значения числа.

К началу XVII века было вычислено 35 знаков десятич­ного разложения числа . Этот рекордный результат принадлежал профессору математических и военных наук Лейденского университета Лудольфу ван Цейлену. Как и многие предшественники, Цейлен в своих кропотливых вычислениях (продолжавшихся всю жизнь!) опирался на разработанный Архимедом метод вписанных и описан­ных окружностей.

Новые инструментальные средства математического анализа, которые стали применять исследователи в конце XVII века, позволили взглянуть на число с совершенно неожиданной стороны.

Немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбни­цу принадлежит красивая формула разложения в ряд

позволяющая, по крайней мере, в принципе, вычислять число со сколь угодно высокой точностью.

Слайд 27. Время счета по формуле Лейбница для числа

в Pascal- программе

Другие расчетные зависимости по литературным данным получили Авраам Шарп (1699 г.)- 71 точный знак числа и Джон Мэчин (1706 г.)- 100 десятичных знаков числа . В 1794 году артиллерист и математик Юрий Вега указал значение числа с точностью до 140 десятичных знаков, из которых точны­ми оказались 136. Этот рекорд продержался около 50 лет.

Другие формулы из истории числа .

	Эйлер
	Эйлер
	Валлис

Сегодня с помощью компьютера вычислено свыше триллиона десятичных знаков числа (при этом исполь­зуются алгоритмы современной математики).

Указание. Вычислить площадь единичного круга методом Монте-Карло используя генератор случайных чисел. Оценить точность и время счета. Сравнить результат с другими алгоритмами числа .

Слайд 28. Гистограмма цифр в числе