Санкт-Петербургский государственный университет кино и телевидения

Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена

_________________________________________________________

А.И. Ходанович математическое моделирование на компьютере

Сборник задач и упражнений

Санкт-Петербург

2009

УДК 53 Х 69

Печатается по решению кафедры математического моделирования СПбГУКиТ и кафедры методики обучения физике РГПУ им. А.И. Герцена

Рецензент: доктор физико-математических наук, профессор И.Н.Щитов (Санкт-Петербургский государственный университет кино и телевидения)

Х69 Ходанович А.И.

Математическое моделирование на компьютере. Сборник задач и упражнений.– СПб.: Изд-во СПбГУКиТ, 2009.- 118 с.

Сборник задач и упражнений представляет собой практический курс математического моделирования на компьютере. В сборнике приводятся демонстрационные примеры и слайды программ, иллюстрации и комментарии.

Учебное пособие можно рекомендовать для профильного обучения, учебно-исследовательской деятельности при изучении концепций современного естествознания. Компьютерные программы выполнены в популярной среде Borland Pascal, MatLab и Maple и могут служить дидактическим материалом для учебного вычислительного эксперимента. Сборник задач и упражнений предназначен для учителей и школьников, студентов и магистрантов физико-математического образования.

© А.И. Ходанович, 2009

© Издательство СПбГУКиТ, 2009

© РГПУ им. А.И.Герцена, 2009

История математического моделирования на компьютере

Аналитический метод (решение задач по формулам), сыграл важную роль в развитии науки ХVIII-XX вв. и широко применяется в настоящее вре­мя. Однако метод все же является ограниченным, поскольку его можно использовать, как правило, в идеализированных ситуациях.

Аналитические задачи обычно разбираются в задачниках по физи­ке и математике. Это нужные задачи, так как они обучают мыслить математическими и физи­ческими категориями, но они далеки от реальности. Никому и никогда, наверное, не придет­ся их решать в жизненных ситуациях, по крайней мере, в учебной форме. Они ра­финированы настолько, что могут служить только иллюстрацией закона или пра­вила. В таких задачах приходится считать зависимости предельно простыми: дви­жения- равноускоренными, силы- линейно зависящими от отклонений или от скорости, токи- линейно зависящие от напряжения, оптические среды- однород­ными и т.д.

Когда во второй половине ХХ века появился компьютер, количественное описание явлений вышло на новую ступень. Спектр задач, которые можно ре­шить быстро, не затрачивая особых усилий, резко расширился. Какими бы слож­ными формулами ни описывались явления, результат выдается компьютером за считанные секунды. Формул для расчета может и вовсе не быть (ана­литическое решение невозможно), например, при сложных математических моде­лях, или при табличном (графическом) задании функций. Это также не представляет сложности для компьютера [8].

Перечислим некоторые типы задач, которые можно решать на компьютере:

• задачи, в которых по одной и той же формуле необходимо провести вы­числения многократно, в частности при построении графиков или графических образов математических моделей (например, фракталов в нелинейной динамике);

• задачи, в процессе решения которых возникают уравнения высоких степе­ней или трансцендентные уравнения, которые легко решаются только численны­ми методами;

• многомерные задачи, где возникает необходимость решения систем уравнений;

• задачи, в которых предлагается найти экстремумы функций, если эти эк­стремумы невозможно найти аналитически (в том числе задачи оптимизации конструкций и процессов);

• задачи численного интегрирования и дифференцирования сложных функций; вычисление спецфункций;

• статистические задачи, в которых данные заданы в виде массива чисел или графика (например, при планировании эксперимента или математической обработке результатов измерений);

• задачи спектрального анализа и операционного исчисления;

• задачи, приводящие к дифференциальным и интегральным уравне-ниям.

Методы решения дифференциальных уравнений приведены в курсах ма­тематического анализа, однако аналитически решается только ограниченный пе­речень типов уравнений. В большинстве случа­ев приходилось упрощать задачи, из которых состоят задачники по физике до­ компьютерной эпохи.

Еще Ньютоном, Эйлером, Гауссом и другими учеными прошлого были разви­ты численные методы в дискретной математике, которые позволяют приближенно решить уравне­ние, вычислить интеграл и другие задачи. В идейном плане эти методы проще традиционной высшей математики. Идея дискретизации заключается в приближенной замене дифференциального уравнения конечно-разностным алгебраическим уравнением. Например, при движении тела в вязкой среде сила зависит от скорости и приближенное уравнение движения имеет традицион­ный школьный вид: . Выяснив, как зависит сила от скорости и, задав начальные условия, можно написать закон изменения скорости во времени: , где индекс n номерует моменты времени и t- интервал времени между двумя те­кущими вычислениями. Данное уравнение (итеративная схема) закладывается как элемент программы в компьютер и циклически решается. В результате полу­чаем массив функции скорости в разные моменты времени, по которому может быть построен график, а также пересчитаны функции ускорения и координа-ты. Изменяя в программе параметры, можно быстро выяснить, как изменяется характер движения, т.е. осуществить компьютерное моделирование динамического процесса. Учебный вычислительный экспери­мент обеспечивает межпредметную интеграцию математики, физики и информатики в рамках образовательных программ.

Следует отметить, что не только сложные научные задачи, но и элементар­ные учебные требуют численного моделирования на компьютере. Для более опытных учащихся в самостоятельной исследовательской работе рекомендуется пользоваться современными математическими системами MathCAD, MatLAB, MAPLE и др. При организации и проведении вычислительного эксперимента, может оказаться полезным са­мостоятельное составление программ на одном из языков программирования (BASIC, Pascal, С), а также использование прикладных математи­ческих библиотек.

При программировании учебных вычислительных задач преимущества алгоритмических языков программирования почти не обнаруживаются и с одинако­вым успехом можно пользоваться любым языком. Следовать за модой и менять свои привычки не стоит, лучше работать в хорошо усвоенной сис­теме программирования. Не следует забывать, что компьютер- только инстру­мент. И использовать надо только те возможности, которые необходи­мы для решения поставленной физической задачи.

При постановке компьютерного эксперимента необходимо придерживать­ся определенной схемы: формализация вербального описания или математическое моделирование, например, составление дифференциальных уравнений в соответствии с условиями задачи; поиск алгоритма решения; разработка программного обеспечения (программы); тест программы по принципу соответствия (в предельном случае, при стремлении характерного параметра к нулю, данная «новая» задача переходит в «старую» с известным аналитическим решением; «запуск» программы (вычисления), интерпретация и анализ полученных результатов.

Вспоминая историю науки, отметим, что в 50-60-х годах XX века началась новая научная революция - достижения физики, математики, информатики и техники открыли перспективы реализации крупнейших проектов - овладение атомной энергией и создание атомного оружия, освоение космического пространства и поиск новых фундаментальных законов природы.

Осуществление проектов потребовало огромных затрат ресурсов, детального анализа возможных путей протекания физических явлений и технологических процессов, тщательного отбора наилучших вариантов постановки дорогостоящих экспериментов. Сложность возникающих за-дач делала их недоступными для стандартных приемов теоретической и экспериментальной физики, а необходимость решения проблем стимулировала возникновение вычислительной физики как новой методологии научных исследований.

Таблица 1. Аналогия между вычислительным и натурным экспериментами

Натурный эксперимент	Вычислительный эксперимент
Физический объект	Математическая модель
Физический прибор	Программа для компьютера
Калибровка	Тестирование программы
Измерения	Вычисления
Анализ результатов	Анализ результатов

В начале ХХ века внимание многих ученых было привлечено к различным задачам физики твердого тела. Их интересовало, можно ли предсказывать теплоемкость твердых тел на основе простых представлений о движении и взаимодействии отдельных частиц, как в кинетической теории газов. Проблема хаотизации колебаний атомов в нелинейном кристалле (термализация) восходит к работам П. Дебая (1914 г.).

Позднее, в 50-х годах Э. Ферми были инициированы вычислитель-ные эксперименты в физике твердого тела на одной из первых ЭВМ. Дж. Паста и С. Улам рассчитывали динамику 64 связанных осцилляторов с нелинейными силами взаимодействия. Вместо термализации энергии обнаруживался квазипериодический обмен энергии между нормальными модами или солитонные решения в нелинейной среде. Кроме того, наблюдался парадокс возврата системы к начальному состоянию. Совокупность изучаемых вопросов численного моделирования стали называть проблемой Ферми- Паста- Улама (ФПУ) [47].

Актуальность изучения вопросов физики нелинейных явлений связана с тем, что идеи, методы и результаты физики открытых систем, в частности, нелинейной динамики, служат фундаментом педагогической и науч­ной деятельности специалистов разного профиля- физиков и ма-тематиков, химиков и биологов, экономистов и социологов.

Открытие хаотических движений в сравнительно простых детерминированных нелинейных ди­намических системах различной природы (физических, химических, биологических) без преувеличения можно считать одной из крупнейших научных сенсаций современности.

Еще сравнительно недавно казалось, что все явления окружающего мира можно четко разделить на детерминированные и случайные. Представление о детерминированности поведения динамических систем опирались на теорему Коши о существовании и единственности ре­ше-ний дифференциальных уравнений. Эта теорема, казалось бы, полностью исключала возможность случайных процессов. В классической физике случайность мыслилась как нечто привносимое извне: хаотические движения детерминированных систем рассматри­вались как результат случайных внешних воздействий.

С представлениями о невозможности случайных движений детерминированных сис­тем связаны трудности обоснования классической статистической механики. В рам­ках классических представлений, органично включающих в себя механический детерми­низм, эти трудности по сути дела не преодолевались.

Вероятностный характер законов классической статистической ме-ханики, где случайность была налицо, принято было списывать на очень большое число частиц и степеней свободы и на неполноту данных. Такая точка зрения со временем стала при­вычной и позволяла как-то примириться с этим противоречием, но, тем не менее, оставля­ла чувство неудовлетворенности. Поэтому неопровержимое установление возмож-ности, хаотического, непредсказуемого поведения простых динамических систем решающим об­разом затрагивает наши фундаментальные мировоз­зренческие представления.

После классических работ А. Пуанкаре можно выделить два этапа развития динамической теории диссипативных систем. Первый связан с возникновением радиотехники, с необходимостью развития для этих целей теории автоколебаний. Замечательные физические и математические результаты в этой области принад­лежат Ван дер Полю, Л.И. Мандельштаму, А.А. Андронову, А.А.Витту, Л.С.Понтрягину, Н.М.Крыло-ву, Н.С. Крылову, Н.Н.Боголюбову и многим другим.

Второй этап развития динамической теории стимулировался проблемами теории турбулентности и трудностями решения задач о долгосрочном прогнозе погоды. Фактическим его началом явилась работа Эдварда Лоренца (1963 г.). Значение исследований было понято лишь после появления статьи математиков Д. Рюэля и Ф. Такенса в 1971 году. В ней был введен новый математический образ сложного движения в нелинейных диссипативных динамических системах^_ странный аттрактор.

За рубежом в 1962 году была опубликована первая коллективная монография (первый том) из серии «Методы вычислительной физики» - «Methods in Computational Physics» и к 1971 году вышло в свет десять томов, посвященных различным разделам физики: квантовой механике и гидродинамике, астрофизике и физике твердого тела, физике плазмы и др. В 1965 году примерно в одно и то же время в Америке и Европе были опубликованы две обобщающие статьи: одна - Ф. Харлоу и Дж. Фромма в «Scientific American», другая - В. Макано во французском журнале «La Houille Blanche», предназначенные специально для того, чтобы привлечь внимание широкой научной общественности к возможностям вычислительной физики. В этих статьях впервые были четко сформулированы понятия численного моделирования и численного эксперимента (применительно к гидродинамике). В 70-х годах К.Вильсон применяет дискретные вычислительные методы для исследования калибровочных полей в задачах квантовой хромодинамики. Произошел беспрецедентный случай- фундаментальная физическая теория переформулирована для компьютерного эксперимента [47].

Современная наука^_ это не только колыбель ПК, но и наиболее развитая область их применения. Для ученых компьютеры стали незаменимым инструментом познания и прогноза сложнейших явлений.

Модельный характер всех наших знаний приводит к сближению физического и математического компонентов развиваемых моделей. Ха-рактерной чертой научной деятельности является исключительная труд-ность, а порой и невозможность отделения физической и математической моделей при рассмотрении сложных реальных процессов и систем. Таким образом, в науке сформировалась вычислительная (компьютерная) физика как современная методология научного исследования, называемая математическим моделированием реальных природных явлений, основанная на развитых теоретико-экспериментальных подходах в информационном цикле вычислительного эксперимента.

«День рождения» вычислительного эксперимента точно не установлен. Первые работы «новым методом» («третьим методом») приходятся на 50-е гг. ХХ века. А вот время, когда появились серьезные результаты, фиксируются вполне официально^_ 1968 г. Госкомитет по делам открытий и изобретений засвидетельствовал открытие явления в моделировании работы МГД-генератора (существование температурного или токового слоя^_ Т-слоя в нелинейной плазме), которые… никто не наблюдал (А.Н. Тихонов, А.А. Самарский и др.). Дальнейшие усилия были направлены на подтверждение результатов компьютерного моделирования. Знаменательный факт^_ вычислительный эксперимент предшествовал натурному, определяя кратчайшие пути к успеху [52].