2.14 Физический опыт и модель измерений

Проделайте следующий физический эксперимент. Установите на полу вертикально палку (можно линейку) и, плавно, слегка наклонив, без толчка отняв руку, отпустите ее. Палка упадет. Измерьте время падения, используя системный таймер компьютера, и сравните результат с теорией.

Рассмотрим физическую модель задачи, т.е. идеали­зируем объект рассмотрения: вместо палки рассмотрим стержень, не име­ющий толщины, установленный вер­тикально на горизонтальной поверх­ности; стержень находится в поле тя­жести, точка опоры фиксирована, а среда не оказывает сопро­тивления движению (рис. 15).

Рис.15. Геометрическая иллюстрация физической модели

Из закона сохранения энергии при вращении стержня для угловой скорости стержня имеем . Учитывая , по теореме о производной обратной функции приходим к дифференциальному уравнению . Учитывая начальные условия, для времени падения имеем [29].

Заметим, что при нулевой начальной скорости для определения времени падения необходимо численное интегрирование

, где момент инерции .

Слайд 13. Численное интегрирование в среде Maple

2.15 Водяные часы

Требуется найти форму водяных часов, при которой уровень воды убывает в чаше с постоянной скоростью. Изобразить часы средствами компьютерной графики.

Известно, что древние водяные часы представляли собой чашу, из которой через небольшое отверстие на дне вытекала вода. Такие часы использовались в греческих и римских судах для хронометрирования речей адвокатов. Приводимая задача из гидродинамики иллюстрирует достаточно распространенный дифференциальный метод, а также связь между физическим содержанием и геометрией [3].

Предварительно остановимся на некоторых общих теоретических рассуждениях. Итак, рассмотрим сосуд (рис. 16), площадь горизонтального сечения которого является произвольной функцией расстояния сечения от дна сосуда.

Пусть высота уровня жидкости в сосуде в начальный момент времени t = 0 равна h метров. Пусть, далее, площадь сечения на высоте х равна S(x), а площадь отверстия на дне сосуда есть s.

И звестно, что скорость истечения жидкости v в тот момент, когда высота ее уровня равна х, определяется равенством , k- коэффициент скорости истечения жидкости из отверстия, зависящий от формы отверстия.

Рис.16. Дифференциальный метод в гидродинамике

На физически малом промежутке времени dt истечение жидкости можно считать равномерным, а потому за время dt вытечет столбик жидкости, высота которого vdt и площадь сечения s, что в свою очередь вызовет понижение уровня жидкости в сосуде на –dx.

В соответствии с уравнением неразрывности приходим к дифференциальному уравнению , которое можно переписать в виде .

Задача решается с помощью выведенного выше уравнения, которое перепишем в виде . Именно, учитывая, что чашу можно рассматривать как поверхность вращения, в соответствии с обозначениями рис. 16 из последнего уравнения получаем, что , где - проекция скорости свободной поверхности жидкости на ось х, которая по условию задачи есть величина постоянная. Возведя обе части уравнения в квадрат, приходим к уравнению , где . Последнее означает, что форма поверхности водяных часов получается вращением кривой вокруг оси х.