Собственные волновые функции и собственные значения оператора Гамильтон

Уравнение Шредингера для стационарного случая является уравнением для собственных функций и собственных значений оператора Гамильтона .

Амплитудная волновая функция должна удовлетворять условиям непрерывности, конечности и однозначности. Кроме того, она должна обращаться в нуль на границе области.

Амплитудная волновая функция является собственной функцией, а энергия E является собственным значением оператора . Собственные значения и собственные функции являются функциями пространственных координат.

Решением уравнения Шредингера для стационарного случая являются собственные значения, которые являются уровнями энергии. Вместе с уровнями энергии определяются собственные функции.

Уравнение Шредингера для свободной частицы, двигающейся в направлении оси

Уравнение Шредингера для свободной частицы, обладающей энергией E и двигающейся в направлении оси x, запишется:

, (11)

где оператор Гамильтона имеет вид

, (12)

так как потенциальная энергия для свободно двигающейся частицы либо равна нулю, либо является постоянной величиной. Подставляя оператор Гамильтона, получим уравнение Шредингера для свободно двигающейся частицы в направлении оси x:

. (13)

Будем искать решение этого уравнения в виде произведения двух функций:

. (14)

Это выражение может быть записано:

. (15)

Разделив обе части э того выражения на произведение функций , получим:

. (16)

Правая часть этого выражения является функцией только времени, а левая часть является функцией пространственной координаты. Эти переменные являются независимыми, и поэтому каждая часть этого выражения может быть приравнена к постоянной величине. Этой величиной может быть энергия частицы E:

, (17)

. (18)

Эти уравнения могут быть записаны:

, (19)

. (20)

Решение первого уравнения будет иметь вид

, (21)

где величина k определяется выражением:

. (22)

Решение второго уравнения запишется:

. (23)

Подставляя эти выражения в общее решение уравнения Шредингера, получим:

. (24)

Это выражение определяет суперпозицию плоских волн, распространяющихся в двух противоположных направлениях. Для частицы, двигающейся в положительном направлении оси x, коэффициент B будет равен нулю, и это выражение запишется:

. (25)

Величина является модулем волнового вектора, который связан с волной де- Бройля:

, (26)

где – длина волны де-Бройля.