Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика — раздел математики, изучающий вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).

Как при решении задач с использованием классического опре­деления вероятности, так и в дальнейшем нам понадобятся некото­рые формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребитель­ные из них.

Размещениями из n различных элементов по m элементов (m х n) называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются либо са­мими элементами, либо порядком элементов.

Например, из трех элементов а, b, с можно составить по два эле­мента следующие размещения:

ab, ас, ba, bc, ca, cb.

Число различных размещений из n элементов по m элементов определяется с помощью формулы

.

Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2? Искомое число сигналов 5*6=30.

Перестановками из n различных элемен­тов называются размещения из этих n элементов по n.

Перестановки можно считать частным случаем размещений при m = n. Следовательно, число всех перестановок из n элементов вычисляется по формуле Р_n = n(n - 1)(n - 2) ... 3 • 2 • 1 = n!

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа толь­ко один раз? Искомое число трехзначных чисел Р = 3! = 1 *2*3 = 6.

Сочетаниями из n различных элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Отметим разницу между сочетаниями и размещениями: в первых не учитывается порядок элементов.

Число сочетаний из п элементов по m элементов вычисляется по формуле

Отметим особенность формулы:

.

Этой особенностью удобно пользоваться, когда m > n/2.

Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей? Искомое число способов

Приведем, наконец, один из примеров применения формул ком­бинаторики к нахождению вероятности события.

Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?

Две последние цифры можно набрать способами, а благо­приятствовать событию М (цифры набраны правильно) будет толь­ко один способ. Поэтому

Дискретные и непрерывные случайные величины. Понятие «случайные величины»

Случайной величиной называется пе­ременная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных зна­чений.

Примеры.

1) Число очков, выпавших при однократном бро­сании игральной кости, есть случайная величина, она может при­нять одно из значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

2) прирост веса домашнего животного за месяц есть случайная величина, которая может принять значение из некоторого число­вого промежутка;

3) число родившихся мальчиков среди пяти новорожденных есть случайная величина, которая может принять значения 0,1,2, 3, 4, 5.

Случайные величины будем обозначать прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения — соответствующими строчны­ми буквами х, у, z. Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то они будут обозначены так: x_1,x₂,x₃.

Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случай­ной величиной.

Случайные величины из примеров 1 и 3 дискретные.

Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка, на­зывается непрерывной случайной величиной.

Случайная величина из примера 2 является непрерывной.

В отличие от неслучайных (детерминированных) величин для случайной величины нельзя предсказать точно, какое она примет значение в определенных условиях, можно только указать закон распределения этой случайной величины.