Статистическая оценка надежности параметров парной корреляции

Показатели корреляционной связи, вычисленные по ограниченной совокупности (по выборке), являются лишь оценкой той или иной статистической закономерности, поскольку в любом параметре сохраняется элемент не полностью погасившейся случайности, присущей индивидуальным значениям признака. Поэтому необходима статистическая оценка степени точности и надежности параметров корреляции. Под надежностью здесь понимается вероятность того, что значение проверяемого параметра не равно 0, не включает в себя величины противоположных знаков.

Вероятностная оценка параметров корреляции проводится по общим правилам проверки статистических гипотез, разработанным математической статистикой, в частности путем сравнения оцениваемой величины со средней случайной ошибкой оценки. Для коэффициента парной регрессии b средняя вычисляется как:

, где n-2 число степеней свободы. Зная среднюю ошибку коэффициента регрессии, можно вычислить вероятность того, что нулевое значение коэффициента входит в интервал возможных с учетом ошибки значений. С этой целью находится отношение коэффициента к его средней ошибке, т.е. t-критерий Стьюдента.

t=b/mb.

или

Надежность установления связи можно проверить и по средней случайной ошибке коэффициента корреляции:

Если коэффициент корреляции близок к единице, то распределение его оценок отличается от нормального или распределения Стьюдента, так как он ограничен величиной 1. В таких случаях Фишер предложил для оценки надежности коэффициента преобразовать его величину в форму не имеющую ограничения:

, средняя ошибка величины z определяется по формуле

Частная корреляция

Ранее упоминалось, что обнаруживаемая по коэффициенту корреляции взаимосвязь между двумя случайными величинами может быть всего лишь отражением того, что обе они коррелируют с третьей величиной. В такой ситуации необходимо рассмотреть так называемую частную корреляцию.

Найдено три взаимосвязи

Артериальное давление – возраст: -0,59

Артериальное давление – вес: -0,41

Возраст – вес: 0,91

Что же показывает частная корреляция? Если корреляция между двумя величинами уменьшается, когда фиксируется третья величина, то это значит, что взаимосвязь между этими двумя величинами возникает частично за счет действия третьей величины. В пределе, если корреляция между указанными двумя величинами становится равной нулю, то можно считать, что взаимосвязь между ними целиком возникает за счет третьей величины.

Частный коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

.

Два других коэффициента r_13,2 и r_23,1 вычисляются циклической перестановкой коэффициентов.

Рассчитаем частные коэффициенты для примера:

,

,

.

Прежде всего мы видим, что r_12,3 и r_23,1 практически не отличаются от r₁₂ и r₂₃. Что касается взаимосвязи между весом и артериальным давлением, то здесь наглядно видно, какие «ловушки» подстерегают исследователя при истолковании коэффициентов корреляции.

В самом деле, если бы в нашем распоряжении оказались только данные о максимальном артериальном давлении и весе детей, то, базируясь только на вычисленном коэффициенте корреляции, нужно было бы сделать вывод о том, что увеличение веса в среднем приводит к уменьшению артериального давления. На самом же деле такая связь существует между возрастом и артериальным давлением, а вес имеет очень тесную взаимосвязь с возрастом, за счет чего и получается вычисленное значение r₁₃.

Метод множественных корреляций в отличие от метода пар­ных корреляций позволяет выявить общую структуру корреля­ционных зависимостей, существующих внутри многомерного экспериментального материала, включающего более двух пере­менных, и представить эти корреляционные зависимости в виде некоторой системы