Умножение вероятностей

Два события А и В называются незави­симыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть событие А — вынут белый шар. Очевидно, Р (А) =0,5. После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие В — во втором испытании вынут белый шар — также имеет вероятность р (В) =0,5 , т. е. события А и В — независимые.

Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда если произошло событие А, т. е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается (P(В) = 1/3); если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события В увеличивается (Р(В) = 2/3 ) Итак, вероятность события В существенно зависит от того, произошло или не произошло событие А; в таких случаях события А и В — зависимые.

Пусть А и В — зависимые события. Условной вероятностью Р_A(В) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже на­ступило.

Если события А и В независимы, то Р_А(В) =Р(В).

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположе­нии, что первое событие уже наступило:

Р (АВ) = Р (А)Р_А(В).

Р (ВА) = Р (В)Р_В(А).

Р (А)Р_А(В) = Р (В)Р_B(А).

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р (АВ) = Р (А) Р (В).

Найти вероятность одновременного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) — 0,7.

События А и В независимы, поэтому искомая веро­ятность Р(АВ) = 0,7 • 0,8 = 0,56.

Сложение вероятностей совместимых событий

Вероятность суммы двух совместимых событий A и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

Р(А + В) = Р(А) + Р (В) — Р(АВ).

Вероятности попадания в цель при стрельбе пер­вого и второго орудий соответственно равны: Р(А)=0,7 и Р(В)=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Очевидно, события А к В совместимы и независимы. Поэтому

Р (А + В) =Р (А) +Р (В) - Р (АВ) = 0,7 + 0,8 - 0,7* 0,8 = 1,5 — 0,56 = 0,94.

Замечание. Если события А и В несовместимы, то их произведение АВ есть невозможное событие и, следовательно, Р (АВ) = 0.

Формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий В₁, В₂, ..., В_n образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответ­ствующую условную вероятность события А:

Р (А) = Р (В₁) P_B1 (А) + Р (В₂)Р_В2 (А) + ... + Р (Вn)Р_Bn(А)

Имеются три одинаковых по виду ящика. В пер­вом находятся две белые мыши и одна серая, во втором — три бе­лые и одна серая, в третьем — две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?

Обозначим В₁ — выбор первого ящика, В₂ — выбор второго ящика, B₃ — выбор третьего ящика, А — извлечение белой мыши.

Так как все ящики одинаковы, то Р (B₁)= Р (B₂) = Р (B₃) = 1/3.

Если выбран первый ящик, то Рв₁ (А) = 2/3. Аналогично Рв₂ (А) =3/4, Рв₃(А) = 0,5. Наконец, по формуле получаем:

В группе студентов 4 отличника, 13 хорошо успевающих и 8 слабых студентов. Результаты предшествующих экзаменационных сессий показали, что отличники получают только отличные оценки (потому они и отличники); «хорошисты», как правило, в девяти случав из десяти получают отличные или хорошие оценки; наконец слабые студенты в одном случае из пяти получают хорошие оценки.

Для сдачи экзамена выбирается один студент. Найти вероятность события А, что студент получит хорошую или отличную оценку.