5.2. Необходимое условие существования экстремума функции одной переменной.

Теорема (необходимое условие существования экстремума). Пусть функция определена на множестве , точка является точкой

экстремума и дифференцируема в точке , тогда .

( Для доказательства см. т. Ферма).

Замечание. Обратное утверждение к теореме неверно. Из того, что ещё не следует, что - точка экстремума. Например для , и при , но эта точка для функция не является точкой экстремума.

Геометрический смысл теоремы. Касательная в точке экстремума дифференцируемой функции параллельна оси абсцисс.

Определение. Точки, в которых производная функции обращается в ноль, называются стационарными.

Определение. Точки, в которых производная функции обращается в ноль или не существует, называются критическими.

Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек, но не всякая критическая точка является точкой экстремума.

5.3. Достаточное условие существования экстремума функции одной переменной.

Ответ на вопрос, будет ли критическая точка точкой экстремума или нет, дает достаточное условие существование экстремума.

Теорема 1. Пусть удовлетворяет условиям: непрерывна в некоторой окрестности точки ; дифференцируема в окрестности точки , кроме, может быть, самой точки и сохраняет свой знак в интервалах , . Тогда, если при переходе через точку меняет свой знак, то - точка экстремума функции, причем если знак меняется слева направо с «+» на «-», то - точка max функции, если меняет знак с «-» на «+», то - точка min функции; если же при

переходе через точку знак не изменяется, то - не является точкой

экстремума.

Теорема 2. Пусть имеет непрерывную вторую производную в окрестности точки и - стационарная точка . Тогда, если: 1) , то - точка min ; 2) , то - точка max .

Замечание. Если , то о характере точки вывода сделать нельзя.

Доказательство 2.

Пусть .

Докажем, что - точка max функции. По определению производной . Так как , то по свойству пределов - точка max функции на основании теоремы 1.

5.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Многие экономические задачи формулируются как задачи на нахождение максимального (минимального) значения функции на некотором множестве.

Пусть непрерывна на . Наибольшим значением называется самое большое из всех значений, которые принимает на . Наименьшее значение - это самое малое из всех значений, которые принимает на .

Теорема Вейерштрасса. Если непрерывна на , то на этом отрезке она достигает своих наибольшего и наименьшего значений, то есть существуют точки и , в которых , . Схема отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на :

- найти критические точки, лежащие на ;

- найти значения функции в критических точках и на концах отрезка;

- из полученных значений функции выбираются самое большое -наибольшее значение функции, и самое малое - наименьшее значение функции.

5.5. Определение выпуклости и вогнутости графика функции. Достаточное условие выпуклости и вогнутости графика. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба.

П усть определена на , .

Г рафик называется выпуклым в точке , если кривая лежит под касательной в точке .

График называется вогнутым в точке , если кривая лежит над касательной в точке .

Теорема (достаточное условие выпуклости и вогнутости графика функции). Пусть имеет непрерывную вторую производную на , тогда: если для каждого , то вогнутая на ; если для каждого , то выпуклая на .

Определение. Точки графика функции, которые отделяют выпуклую часть

графика от вогнутой, называются точками перегиба.

В точках перегиба касательная к графику функции пересекает его с обеих сторон, с одной стороны график лежит над касательной, с другой - под касательной.

Теорема 1. (необходимое условие существования точки перегиба).

Пусть - абсцисса точки перегиба графика функции и дважды дифференцируема в точке , тогда .

З амечание. Обратное утверждение к теореме, вообще говоря, неверно. Из того, что ещё не следует, что - абсцисса точки перегиба. Например, для функции , , и при , но точка (0;0) не является точкой перегиба функции .

Теорема 2. (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки и дважды дифференцируема в этой окрестности, кроме, может быть, самой этой точки , тогда: если при переходе через точку меняет свой знак, то - абсцисса точки перегиба; если при переходе через точку не меняет знак, то не является абсциссой точкой перегиба.