15.2. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости положительных рядов (принцип сравнения, радикальный признак Коши, признак Даламбера). Интегральный признак Коши-Маклорена.
Определение.
Ряд
называется положительным, если все его
члены неотрицательны:
Теорема (критерий сходимости положительных рядов).
Для того, чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частных сумм ряда была ограничена (критерий носит теоретическое значение, и является основой, на которой базируются
другие признаки).
Достаточные признаки сходимости положительных рядов.
Признаки сравнения.
Теорема 1.
Пусть члены положительных рядов
(1) и
(2) с вязаны соотношением
,
тогда из сходимости ряда (2) (большего)
следует сходимость ряда (1) (меньшего);
если ряд (1) (с меньшими членами) расходится,
то расходится ряд (2) (с большими членами).
Теорема 2.
Если предел отношения общих членов
положительных рядов (1) и (2) есть конечное
не равное нулю число
,
то оба ряда сходятся или расходятся
одновременно.
Примечание. В качестве рядов сравнения используют эталонные ряды, о поведении которых известно:
1) ряд, составленный
из членов геометрической прогрессии
,
который сходится
,
и расходится при
;
2) обобщённый
гармонический ряд
с показателем сходимости р,
который сходится при
,
и расходится при
.
Выбор одного из двух эталонных рядов для исследования неизвестного ряда определяется по виду исследуемого ряда.
Пример 1.
Исследовать сходимость ряда
.
Сравним исследуемый
ряд
с рядом
,
который расходится.
Найдём
,
следовательно
исходный ряд
расходится (на основании предельного
признака сравнения).
Пример 2.
Исследовать ряд
.
Сравним исследуемый
ряд
с рядом
,
который сходится.
Определим
,
исходный ряд сходится, так как сходится
ряд сравнения.
Признак Даламбера.
Пусть для
положительного ряда
,
тогда при
ряд сходится, при D>1
ряд расходится.
Замечание. При D=1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Радикальный признак Коши.
Пусть для
положительного ряда
,
,
тогда при k<1
ряд сходится, а при k>1
ряд расходится.
Замечание. При k=1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Теорема (интегральный признак Коши-Маклорена).
Пусть функция
удовлетворяет условиям: 1) определена
и непрерывна на
;
2)
;
3) монотонно убывает; 4)
.
Тогда если несобственный интеграл
сходится, то сходится ряд
;
а если несобственный интеграл
расходится, то расходится ряд
.
Пример.
Исследовать сходимость гармонического
ряда
.
Так как
,
ТО
И
.
Несобственный интеграл расходится,
поэтому гармонический ряд расходится.
15.3. Определение знакопеременного ряда. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов.
Рассмотрим ряды с членами произвольного знака, иначе знакопеременные ряды. Среди них часто встречаются ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки.
Определение. Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов встречаются как положительные, так и отрицательные.
Пример.
.
Определение.
Знакопеременный ряд называется
знакочередующимся, если любые два его
соседних члена имеют разные знаки.
,
где
(3)
Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена ряда.
Любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов и имеет одинаковый с ним знак.
Пример.
Доказать сходимость ряда
.
Сколько членов ряда нужно взять, чтобы
вычислить сумму с точностью 0,1.
– сходится по
признаку Лейбница, так как члены ряда
убывают по абсолютной величине и общий
член ряда
стремится к нулю при
.
Для вычисления суммы ряда с точностью
0,1 воспользуемся оценкой остатка
,
то есть
.
Таким образом достаточно, чтобы
выполнялось неравенство
.
Для нахождения суммы ряда с заданной
точностью необходимо сложить девять
первых членов.
Пусть
(4) – знакопеременный ряд. Рассмотрим
ряд, составленный из модулей членов
ряда (4), то есть
(5).
Определение. Сходящийся ряд (4) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (5), составленный из модулей членов ряда (4).
Определение. Сходящийся ряд (4) называется условно сходящимся, если ряд (5) расходится.
Теорема. Если ряд (5) сходится, то ряд (4) сходится. (абсолютная сходимость влечет за собой обычную сходимость/расходимость).
Примеры. Исследовать сходимость рядов.
1)
.
Составим ряд из
модулей
,
.
Ряд
сходится, ряд
сходится,
и потому ряд
сходится абсолютно.
2)
.
Ряд из модулей
расходится, так
как
и ряд
расходится.
Исследуемый ряд
сходится по
признаку Лейбница. Этот ряд сходится
условно.
3)
.
Ряд из модулей
расходится, так
как общий член ряда не стремится к нулю:
при
.
Исследуемый ряд
расходится.