11.2. Свойства определенного интеграла.
1)
2)
,
k=const
3)
4)
,
если
-
свойство аддитивности интеграла по
мере
5) Интеграл от
неотрицательной функции на [a;b]
- неотрицательное число, то есть: если
на [a;b],
то
-
свойство знакопостоянства.
6
)
Если
,
то
.
7)
при a<b.
8)
.
9)
11.3. Теорема о среднем значении определенного интеграла.
Рассмотрим функцию интегрируемую на [a;b].
Теорема 1.
Пусть функция
на [a;b]
удовлетворяет условию
,
тогда
.
Доказательство.
Если
,
то по свойству 6
.
Используя свойство 2 и 9 соответственно
получим, что
и
.
Теорема 2.
Пусть функция
интегрируема на [a;b]
и на этом отрезке выполняется неравенство
,
тогда существует число
,
для которого
.
Доказательство.
Из теоремы 1 следует
,
получим
.
В качестве
возьмем число
,
тогда
.
Следствие из теоремы 2.
Е
сли
непрерывна на [a;b],
то существует точка
,
для которой выполняется равенство
,
то есть площадь криволинейной трапеции
равна площади прямоугольника со сторонами
и
.
Лекция 12. Основная формула интегрального исчисления.
12.1. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования и его свойства.
12.2. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.
12.3. Методы интегрирования определенного интеграла
12.4. Геометрическое приложение определенного интеграла
12.5. Несобственный интеграл
12.1. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования и его свойства.
Если функция
интегрируема на
,
то она интегрируема на любом
Если функция
интегрируема на
,
то она интегрируема на любом меньшем
отрезке и следовательно для любого
.
Чтобы не смешивать обозначения верхнего
предела и переменной интегрирования,
будем записывать его в виде
.
Определение. Для функции , интегрируемой на , интеграл вида
,
где
,
называется интегралом с переменным
верхним пределом
интегрирования.
Рассмотрим функцию
.
Теорема 1.
Если
интегрируема на
,
то
непрерывна на
.
Теорема 2.
Если
непрерывна на
,
то
дифференцируема на
и ее производная
(иначе говоря: производная интеграла с
переменным верхним пределом равна
значению подынтегральной функции на
верхнем пределе интегрирования).
Доказательство.
так как при
вследствие непрерывности функции
на
по условию.
Следствие. Определенный интеграл с переменным верхним пределом функции является первообразной для функции .
12.2. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.
Теорема. Пусть непрерывна на и какая-либо первообразная
для
,
тогда
.
Доказательство.
Так как
- первообразная
на
по условию и
первообразная для
на
по теореме 1, то
.
Будем поочередно считать
и
,
тогда
,
т.е.
- формула Ньютона-Лейбница.
Отметим еще два варианта формулы:
,
.
Пример.
.
12.3. Методы интегрирования определенного интеграла.
а) Метод непосредственного интегрирования определенного интеграла основан на применении таблицы интегралов, свойств интеграла, формулы Ньютона-Лейбница и элементарных преобразований подынтегральной функции.
Пример.
б) Метод интегрирования по частям.
Теорема.
Пусть
и
имеют непрерывные производные на
,
тогда
в) Метод подстановки (замена переменной)
Теорема.
Пусть
непрерывна на
,
а функция
имеет
непрерывную
производную на
и при
значения
,
причем
,
,
тогда
.
Пример.
