10.1. Координатна площина
Площина, на якій задана прямокутна система координат Гаусса- Крюгера називається координатною площиною. На рис. 66 приведені осі системи прямокутних координат, які ділять коло на чотири частини I, II, III і IV та називають їх четвертями тригонометричного круга.
Оскільки лінія може знаходитися в будь-якій четверті і мати будь-який напрямок, то її дирекційний кут може змінюватися від 0о до 3600. Відомо, що окрім дирекційних кутів для орієнтування ліній існують румби.
Румб - гострий кут, який прилягає до північного або південного напрямку осі абсцис (осьового меридіану). Румби змінюються від O до 90о. До градусної величини румба обов'язково добавляють назву четверті - ПнСх (північний схід), ПдСх (південний схід), Пд3х (південний захід), Пн3х (північний захід). Наприклад, ПдСх: 54о56,5'.
Між румбами і дирекційними кутами існує наступна залежність:
коли лінія має напрямок на ПнСх, то r = а;
коли лінія має напрямок на ПдСх, то r =180 - а;
коли лінія має напрямок на Пд3х, то r =а - 180о;
коли лінія має напрямок на Пн3х, то r =360° - а.
10.2. Рішення прямої геодезичної задачі
Формулювання задачі. Дано прямокутні координати точки A(xa, yA), віддаль dAB, та дирекційний кут а аВ. Потрібно обчислити прямокутні координати точки B(xb, у)
Розв'язання задачі. На рис. 66 приведені в кожній четверті лінія dAB, прирости прямокутних координат, румби і дирекційні кути. При розгляді рисунку бачимо, що прирости прямокутних координат в усіх четвертях обчислюються за одною формулою
bxab = dab x c0s rab
л J • (88)
byab = dab x sm rab
Оскільки вище було показано, що існує залежність між румбами і дирекційними кутами, то у формулі (88) можна румби замінити на дирекційні кути, тоді отримаємо
(89)
Прямокутні координати точки В обчислюють за формулою
(90)
10.3. Рішення оберненої геодезичної задачі
Формулювання задачі. Дано: прямокутні координати точок A(xA, yA) i B(xB, yB). Потрібно обчислити віддаль dAB між цими точками і дирекційний кут а АВ напрямку АВ.
Розв'язання задачі. За відомими прямокутними координатами двох точок обчислюють їх прирости за формулою
(91)
За відомими приростами прямокутних координат обчислюють тангенс румба за формулою
(92)
Числове значення румба в градусах обчислюють за формулою
Напрямок румба або дирекційного кута отримують на ту точку від якої віднімали координату при обчисленні приростів.
Оскільки прирости прямокутних координат обчислюють за формулою (91), то в кожному конкретному випадку вони будуть мати відповідні знаки ''+'' чи ''-''. Саме за цими знаками визначають четверть, в якій знаходиться дирекційний кут і знак румба (табл.9).
Коли не було електронних обчислювальних машин, то прирости прямокутних координат визначали за спеціальними таблицями. Величини і назву румба визначали за формулою
ПнСх гав = aAB
ПдСх гав = 180° - aAB
ПдЗх гав = aab - 180° (94)
ПнЗх гав = 360° - aAB
Для визначення знаків приростів користувалися табл.9.
Таблиця 9
Знаки приростів прямокутних координат
Четверть
|
Дирекційні кути |
Прирости координат |
|
Ax |
Ay |
||
I
|
0o - 90o
|
+
|
+
|
|
|
|
|
II
|
90o - 180o
|
-
|
+
|
III
|
180o - 270o
|
-
|
-
|
IV
|
270o - 360o
|
+
|
-
|
|
|
|
|
На сучасному етапі розвитку суспільства існує необмежена кількість малих електронно обчислювальних машин з тригонометричними функціями, потреба в табл.9 відпала. Це обґрунтовується тим, що електронні машини зберігають знаки згідно виконаних математичних дій. Таким чином, ми отримаємо румби за формулою (93) з своїм дійсним знаком. В такому випадку дирекційні кути обчислюють за формулою:
коли + Ду / + Дх, то a = r
коли +Ay /-Дх, то a = 180° - r
коли -Ay / -Дх, то a = 180° + r (95)
коли -Ay / +Дх, то a = 360° - r • Віддаль між точками обчислюють за формулою
dab = axab /c0S aab = ДуАВ /sin aab = = axab / c0S rab = ДУabb / Sin rabb (96)
При обчислені віддалей кінцевий результат заокруглюють до 0,01, хоча значення тригонометричних функцій беруть до 0,00001. Віддалі можна обчислювати за теоремою Піфагора
Обчислена віддаль за формулою (96) буде точніша в тому випадку коли абсолютне значення приростів координат буде Ду > Дх, тобто доцільно обчислювати за формулою dAB = Ду/sin rAB =Ay/sin aAB, і при Дх>Ду за формулою dAB= Ax/c°s rAB= Ax/c°s aAB.