5.6. Нерівноточні виміри величии
Коли величину вимірюють різними приладами з різною точністю або прийомами, то кінцевий результат буде нерівноточним. При обчисленні середнього значення із нерівноточних результатів враховують вагу кожного результату. Вага - це число, яке характеризує точність будь-якого результату по відношенню до інших результатів. Середнє арифметичне із нерівноточних вимірів називають загальною арифметичною серединою або середнім ваговим.
Нехай при вимірюванні лінії отримали п кінцевих результатів. Отримані результати відрізняються між собою тільки числом вимірів.
P1 раз і отримали середній (кінцевий) результат dj P2 раз і отримали середній (кінцевий) результат d2 P3 раз і отримали середній (кінцевий) результат d3
рп раз і отримали середній (кінцевий) результат dn
Тоді вагове середнє обчислюють за формулою
'
(48)
Приклад. Виміряна одна і та ж лінія три, два і чотири рази. Середні значення довжини лінії отримали наступні:
У випадку, коли b = h, mb = mh = m;
dj = 234,76; d2 = 234,70; d3 = 234,74. Знайти середнє вагове. В довільній формі призначають d' =234,65, та обчислюють різниці
Встановлено, що вага виміру обернено пропорційна квадрату середньої квадратичної похибки, тобто
(49)
Загальна вага арифметичної середини дорівнює сумі ваг окремих груп вимірів, тобто
(50)
При оцінці точності нерівноточних вимірів використовують поняття про середню квадратичну похибку вимірювання, вага якого рівна одиниці
де § - відхилення від середнього вагового результату кожної групи вимірів. Наприклад
S1 = do- di; S2 = do- d2; S3 = do- d3; і т. д. Середня квадратична похибка середнього вагового обчислюється за формулою
Наприклад, необхідно обчислити середню квадратичну похибку ваги і загальної арифметичної середини за результатами вище приведеного прикладу табл^
Таблиця 3
№ групи вимірів |
Середній результат вимірів |
P |
S,cм |
pS |
pS2 |
1 |
234,76 |
3 |
-2 |
-6 |
12 |
2 |
234,70 |
2 |
+4 |
+8 |
32 |
3 |
234,74 |
4 |
0 |
0 |
0 |
9 +2 44
1 • Обчислюють середню квадратичну похибку вимірювання
2.
Обчислюють середню квадратичну похибку
середнього вагового 
Кінцевий результат середнього вагового d =234,74 ± 0,008 м;
o
Відносна середня квадратична похибка обчислюється за формулою
5.7. Оцінка точності за відхиленнями окремих вимірів
Відомо, що істині значення нам ніколи не відомі, а тому не можуть бути обчисленні випадкові похибки А за формулою (23) та неможливо обчислити середню квадратичну похибку одного виміру за формулою (34). В таких випадках оцінку точності виконують за відхиленнями S окремих вимірів від простої арифметичної середини.
н .X. й . . с. . р, „ .. . ір і. d,, d d,,...,d одної і тої ж величини.
1 2, 3 ' n ^
Самим надійним значенням є проста арифметична середина xo. Знайдемо різниці
x - d, = V;
oil
X0 - d2 = V 2;
Xo - d3 = V; (53)
X - d = V
o n n.
Для встановлення властивостей відхилень V. додамо всі ці рівняння та отримаємо
nxo-[d]=[v] . (54)
Якщо всі члени формули (54) розділити на п, то отримаємо
і
(55)
Сума відхилень окремих результатів вимірів від простої арифметичної середини рівна нулю.
В теорії похибок вимірів доводиться, що за відхиленнями V. можна обчислювати середню квадратичну похибку одного виміру за формулою, яка запропонована німецьким математиком Фрідріхом Вільгельмом Бесселем.
Вимірювання довжин ліній