26. Доверительный интервал для разности средних. Проверка статистических гипотез с помощью доверительных интервалов

Выражение для статистики Стьюдента можно видоизменить так, чтобы распределение t было всегда симметрично относительно нуля:

Т о есть

Из распределения Стьюдента можно найти такое значение величины t_α/2 при котором 100α процентов всех возможных значений t будут расположены левее –t_α/2 или правее + t_α/2, а остальные 100(1 – α) процентов значений t попадут в интервал от –t_α/2 до +t_α/2:

преобразуем, полученное неравенство к виду

Таким образом, разность истинных средних отличается от разности выборочных средних менее чем на произведение t_α и стандартной ошибки разности выборочных средних. Это неравенство задает доверительный интервал для разности средних µ₁ – µ₂.

Проверка статистических гипотез с помощью доверительных интервалов

Доверительные интервалы можно использовать для оценки статистической значимости различий.

Если 100(1 – α)-процентный доверительный интервал разности средних не содержит нуля, то различия статистически значимы; напротив, если этот интервал содержит ноль, то различия статистически не значимы.

27. Оценка эффектов уровней фактора

Следующим шагом дисперсионного анализа является выяснение того, в какой мере параметры μ_j отличаются друг от друга, т. е. какие именно из средних μ_j не равны.

Для проверки нескольких гипотез о равенстве математических ожиданий используют методы множественного сравнения. Одним из таких методов является метод множественных сравнений Шеффе, который позволяет проверять гипотезы для любых комбинаций средних (математических ожиданий).

Н аиболее часто приходится проводить сравнение так называемых контрастов в средних. Контрастом называется линейная комбинация средних вида

коэффициенты которой удовлетворяют условию:

Примерами контрастов являются

При использовании методов множественного сравнения для проверки гипотез можно столкнуться с противоречием когда две величины, порознь равные третьей, окажутся не равны между собой. Чтобы избежать этого, сравнения необходимо проводить в определенном порядке. А именно, следует сравнить группу с наибольшим средним с группой, имеющей наименьшее среднее, затем с группой с наименьшим средним среди остальных групп и т. д. Когда при сравнении обнаружится, что μ_j и μ_t различаются незначимо или не останется группы с меньшим выборочным средним, следует заменить группу с наибольшим средним на группу со вторым по величине средним и начать процедуру сначала.

28. Двухфакторный дисперсионный анализ с пересечением уровней

Пусть на исследуемую величину могут оказывать влияние два фактора A и B, каждый из которых имеет конечное число уровней. При этом ставится вопрос, как влияют и влияют ли вообще эти факторы на исследуемую величину. Здесь уже необходимо уделить внимание способу взаимосвязи факторов. Для большинства практических задач достаточно ограничиться двумя способами: пересечением и группировкой.

Два фактора A и B называются пересекающимися, если в плане эксперимента предусмотрены все возможные сочетания факторов.

Фактор B группируется фактором A, если каждый уровень фактора B сочетается не более, чем с одним уровнем фактора A.

Пусть x_ijt обозначает значение наблюдения полученное при t-м повторении эксперимента в ячейке ij, i = 1,..., k; j = 1, ...n; t = 1, ...m. Модель дисперсионного анализа представим в виде:

здесь μ – генеральное среднее, α_i – дифференциальный эффект фактора A, β_j – дифференциальный эффект фактора B. Величина (αβ)_ij – называется взаимодействием i-го уровня фактора A и j-го уровня фактора B.

Проверяемыми гипотезами являются:

Как и в однофакторном дисперсионном анализе проверка этих гипотез основывается на сравнении двух независимых оценок дисперсии σ². При этом одна из оценок действует в независимости от того, верна ли гипотеза H₀, а вторая – только в случае справедливости этой гипотезы.

Р ассматривая совокупность данных как одну выборку из генеральной совокупности, получим оценку генерального среднего в виде:

и несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности:

Входящую в оценку дисперсии генеральной совокупности сумму квадратов можно представить в виде суммы четырех отдельных сумм квадратов СК_A, СК_B, СК_AB, СК₀:

Х арактеризует разброс наблюдаемых значений между столбцами (уровнями фактора A) таблицы данных:

X арактеризует разброс наблюдаемых значений между строками (уровнями фактора B) таблицы:

Xарактеризует эффект взаимодействия факторов:

Oстаточная сумма квадратов

Г ипотеза H₀ : α₁ = α₂ = ... = α_k = 0 проверяется с помощью отношения

Гипотеза H₀ : β₁ = β₂ = ... = β_n = 0 проверяется с помощью отношения

Г ипотеза об отсутствии взаимодействия между факторами (гипотеза об аддитивности) проверяется с помощью отношения:

Результаты дисперсионного анализа представляют следующей таблицей

29. Двухфакторный дисперсионный анализ с группировкой уровней

Пусть на исследуемую величину могут оказывать влияние два фактора A и B, каждый из которых имеет конечное число уровней. При этом ставится вопрос, как влияют и влияют ли вообще эти факторы на исследуемую величину. Здесь уже необходимо уделить внимание способу взаимосвязи факторов. Для большинства практических задач достаточно ограничиться двумя способами: пересечением и группировкой.

Два фактора A и B называются пересекающимися, если в плане эксперимента предусмотрены все возможные сочетания факторов.

Фактор B группируется фактором A, если каждый уровень фактора B сочетается не более, чем с одним уровнем фактора A.

Ф актор B с n уровнями был назван сгруппированным фактором A с k уровнями, если каждый уровень фактора B сочетается не более, чем с одним уровнем фактора A. Двухфакторный анализ с группировкой с описывается моделью:

Здесь µ – генеральное среднее, α_i – дифференциальный эффект, определяемый i-м уровнем фактора A, величины b_j(i) независимы и распределены по нормальному закону с нулевым средним и дисперсией σ²_b(a), ε_ijt – остаточные случайные величины

Результаты дисперсионного анализа оформляются в виде следующей таблицы

Статистики для проверки гипотез имеют вид:

для гипотезы H₀: все α_i = 0;

для гипотезы H₀: σ_b(a) = 0;