6. Описательная статистика: Числовые характеристики случайной величины

Медиана – это значение случайной величины, которое делит распределение пополам: половина значений будет больше медианы, половина – не больше.

Процентиль – значение случайной величины, которое делит распределение на соответствующие доли (25%, 75% и т. д.)

Процентной точкой порядка α (α – процентной точкой) распределения называется такое возможное значение x_α этой случайной величины, для которого вероятность события X > x_α равна заданной вероятности α

Квантилем порядка p называется такое возможное значение x_p этой случайной величины, для которого вероятность события X < x_p равна заданной вероятности p

А симметрия

Э ксцесс

Мода – это наиболее часто встречающееся значение случайной величины

В ыборочное среднее, представляющее собой оценку математического ожидания генеральной совокупности:

В ыборочная дисперсия, служащая несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности:

Выборочное среднеквадратическое (стандартное) отклонение:

7. Описательная статистика: Точность выборочных оценок

С тандартная ошибка среднего

8. Анализ резко выделяющихся наблюдений

Речь пойдет об анализе наблюдений, которые сильно отклоняются от центра распределения. Иногда такие большие отклонения возникают в результате случайного просчета, неправильного считывания показаний измерительного прибора, т.е. в результате допущенной грубой ошибки. Иногда большие отклонения отражают более тонкие моменты, такие как несоответствие в отдельных точках используемой математической модели, незамеченное исследователем изменение условий эксперимента и т.п.

В любом случае с математической точки зрения речь идет о выявлении наблюдений, значение которых не согласуется с распределением основной массы данных. Выявление таких наблюдений позволяет обычно еще раз проверить условия регистрации и тем самым выявить и устранить ошибку. Если же ошибку устранить

не удается, то возможно эти наблюдения следует просто исключить из данных как нетипичные (неправдоподобные).

Рассматриваемая задача анализа разделяется на два этапа:1) выявление “подозрительных” наблюдений и 2) проверка статистической значимости их отличия от основной массы данных.

Сложность анализа резко выделяющихся (аномальных) наблюдений заключается в, казалось бы, парадоксальном выводе: чем больше объем выборки, тем с большей вероятностью следует ожидать резких выбросов в наблюдениях.

Существует несколько различных критериев для идентификации резко выделяющихся наблюдений, но все они основываются на предположении о том, что распределение наблюдаемых значений описывается нормальным законом распределения.

Один из критериев основан на статистике

здесь выборочное среднее

s – среднеквадратическое отклонение

Если V < V_кр, то резко выделяющееся значение в выборке нельзя считать промахом и его лучше оставить

9. Построение гистограммы распределения

Как правило область изменения данных разбивают на m одинаковых интервалов длинной Δx и вычисляется относительная плотность попадания значений в каждый интервал:

Д иаграмму построенную из прямоугольников с основанием Δx и высотами w_k называют гистограммой

• Отмечаются наименьшее и наибольшее значения в выборке и диапазон между ними разбивается на m равных интервалов.

• Отмечаются крайние точки каждого из интервалов в порядке их возрастания, а также середины интервалов x⁰₁ , x⁰₂ , ..., x⁰_m.

• Подсчитывается количество значений данных, попавших в каждый из интервалов: n₁,n₂, ..., n_m.

Г руппированные данные могут быть использованы для оценки математического ожидания и дисперсии:

10. Построение эмпирической функции распределения

Представление о характере распределения выборочных данных может давать также эмпирическая функция распределения, которой называется функция F(x) определяющая для каждого выборочного значения случайной величины X относительную частоту события X < x:

Здесь n_x число наблюдений меньших X

11. Проверка соответствия выбранной модели закона распределения исходным данным. Критерий согласия χ² (хи-квадрат)

Применение многих методов статистической обработки данных предполагает, что результаты наблюдений являются выборкой из генеральной совокупности с вполне определенным законом распределения, например нормальным.

Чтобы оценить, насколько выбранный теоретически закон распределения согласуется с результатами наблюдений, используют так называемые критерии согласия.

В качестве меры расхождения между эмпирическим и теоретическим законами распределения К. Пирсоном была предложена статистика:

Здесь: m ─ число значений, принятых случайной величиной, n – общее число наблюдений, p_k ─ вероятность появления k-го значения в теоретическом законе распределения

Соответствие выбранного теоретического закона распределение результатам наблюдения должно быть отвергнута при уровне значимости α, если полученное в опыте значение статистики c² превысит критическое значение c²_m−1,α.

Для различного числа степеней свободы и уровня значимости составлены таблицы критических значений c²

Когда вероятность появления k-го значения в теоретическом законе распределения p_k определяются с помощью параметров распределения оцененных по выборке число степеней свободы равно m-s-1. Здесь s – количество параметров теоретического закона распределения оцененных по выборке