37. Оценка степени тесноты связи при нелинейной зависимости

При отклонении исследуемой зависимости от линейной, коэффициент корреляции r теряет свой смысл как характеристика тесноты связи. В этих случаях необходимо попытаться построить по имеющимся выборочным данным оценку корреляционного отношения.

П редположим, что характер выборки (количество элементов, плотность расположения на плоскости) допускает группировку по переменной X, т. е. данные могут быть представлены в виде

Тогда оценкой среднего значения Y внутри каждого интервала будет

а оценкой общего среднего

З а значение точечной оценки величины D[ϕ(X)], обусловливающей вклад в общую дисперсию D[Y] случайной величины Y от функциональной зависимости, принимают

Точечной оценкой общей (полной) дисперсии D[Y], характеризующей разброс результатов наблюдений y_ij относительно общего среднего будет

Тогда получим следующее выражение для точечной оценки квадрата корреляционного отношения ρ²_yx зависимой переменной Y по независимой переменной X:

Аналогично можно ввести точечную оценку ρ²_xy

В предположении, что при условии X = x случайная величина Y имеет нормальный закон распределения с постоянной дисперсией для любого x, для проверки гипотезы H₀: ρ²_yx = 0 (отсутствие связи Y с X) используется статистика

которая при справедливости гипотезы имеет распределения Фишера с m−1 и n−m степенями свободы. Поэтому, если вычисленное значение статистики F окажется больше f_{m−1;n−m;α} (α - процентной точки), то нулевую гипотезу следует отвергнуть с уровнем значимости α, т. е. признать, что связь существует.

Для истинного значения квадрата корреляционного отношения ρ²_yx можно построить приближенный доверительный интервал с доверительной вероятностью β=1-α:

г де l₁ и l₂ – числа степеней свободы:

38. Анализ частных связей. Анализ множественных связей

Анализ частных связей

При анализе корреляционных связей могут возникнуть трудности в интерпретации полученных результатов. Полученная сильная корреляционная связь входит в противоречие со здравым смыслом. Подобная ситуация возникает при опосредованном влиянии на оба изучаемых показателя третьего неизвестного фактора и даже целого множества неучтенных факторов.

Поэтому необходимо введение таких измерителей статистической связи, которые были бы очищены от влияния других переменных, т. е. давали бы оценку степени тесноты связи при условии, что остальные переменные зафиксированы на некотором постоянном уровне. В этом случае говорят об анализе частных связей и используют частные коэффициенты корреляции.

Р ассмотрим статистические связи между совокупностью р+1 случайных величин X₀, X₁, ..., X_p где переменные X₁, ..., X_p являются входными, а переменная X₀ = Y –выходной. Предположим, что случайный вектор (X₀, X₁, ..., X_p) имеет нормальный закон распределения. Тогда корреляционная матрица будет иметь вид:

где r_ij – коэффициенты корреляции между случайными величинами x_i и x_j; i, j = 0, 1...., p.

Ч астный коэффициент корреляции – мера линейной вероятностной зависимости между двумя случайными величинами из некоторой совокупности случайных величин X₀, X₁, ..., X_p, когда исключено влияние остальных, т. е. (для пары X_i и X_j)

где A_ij – алгебраическое дополнение к элементу r_ij корреляционной матрицы, а J(i, j) = 0, 1...., p за исключением индексов i и j.

Например, для трех случайных величин X₀, X₁, X₂ получим корреляционную матрицу вида

и частный коэффициент корреляции между входной переменной X₀ и выходной X₁ при фиксированном значении переменной X₂

и частный коэффициент корреляции между входной переменной X₀ и выходной X₂ при фиксированном значении переменной X₁

Значения точечных оценок частных коэффициентов корреляции получают подстановкой в выражения их выборочных значений.

Выборочный частный коэффициент корреляции распределен так же, как и выборочный обычный (парный) коэффициент корреляции, поэтому для проверки гипотез и построения доверительного интервала используются те же самые соотношения, которые были получены ранее с единственной заменой n на n−k, где k – порядок частного коэффициента корреляции (число “мешающих” переменных).