24. Доверительный интервал для среднего

Величина

п одчиняется распределению Стьюдента.

Математически запись этого выражения имеет вид

Из распределения Стьюдента можно найти такое значение величины t_α/2 при котором 100α процентов всех возможных значений t будут расположены левее –t_α/2 или правее + t_α/2, а остальные 100(1 – α) процентов значений t попадут в интервал от –t_α/2 до +t_α/2:

преобразуем, полученное неравенство к виду

Таким образом, истинное среднее отличается от выборочного среднего менее чем на произведение t_α/2 и стандартной ошибки выборочного среднего s_x. Это неравенство задает доверительный интервал для среднего.

Приводя k-процентный доверительный интервал среднего, мы утверждаем, что вероятность того, что истинное среднее находится в этом интервале, равна k. Иными словами, если получить все возможные выборки из некоторой совокупности и для каждой рассчитать k-процентный доверительный интервал, то доля интервалов, содержащих среднее по совокупности (истинное среднее), составит k.

25. Доверительный интервал для разности средних. Оценка эффекта

Выражение для статистики Стьюдента можно видоизменить так, чтобы распределение t было всегда симметрично относительно нуля:

Т о есть

Из распределения Стьюдента можно найти такое значение величины t_α/2 при котором 100α процентов всех возможных значений t будут расположены левее –t_α/2 или правее + t_α/2, а остальные 100(1 – α) процентов значений t попадут в интервал от –t_α/2 до +t_α/2:

п реобразуем, полученное неравенство к виду

Таким образом, разность истинных средних отличается от разности выборочных средних менее чем на произведение t_α и стандартной ошибки разности выборочных средних. Это неравенство задает доверительный интервал для разности средних µ₁ – µ₂.

Оценка эффекта

Доверительный интервал для разности средних можно использовать для оценки величины эффекта.

Например. Средний диурез при приеме плацебо составил µ₁ = 1200 мл, а при приеме препарата - µ₂ = 1400 мл. Таким образом, препарат увеличивает суточный диурез на µ₁ – µ₂ = 1400 – 1200 = 200 мл.

Предположим в нашем распоряжении выборки из совокупностей распределенных в соответствии с нормальным законом и необходимо оценить величину эффекта.

Для полученных данных значение статистики Стьюдента t = 2,447. Это больше критического значения t для 18 степеней свободы (2,101) и 5% уровня значимости, поэтому можно заключить, что различия статистически значимы, то есть препарат обладает диуретическим действием.

В контрольной группе средний диурез составил 1180 мл, а в группе, получавшей диуретик, - 1400 мл.

Среднее увеличение диуреза в данном опыте:

Однако как и всякая выборочная оценка, подверженная влиянию случайных факторов, эта величина отличается от истинного увеличения суточного диуреза, равного 200 мл. Поэтому правильнее будет рассчитать доверительный интервал, который покажет диапазон чисел, куда истинное значение величины эффекта попадает с заданной вероятностью.

В ычислим стандартную ошибку разности средних. Стандартные отклонения у принимавших диуретик и плацебо составили соответственно 245 и 144 мл. В обеих группах было по 10 человек. Тогда объединенная оценка дисперсии

А стандартная ошибка разности средних

Для определения 95% доверительного интервала (α=100-95) найдем значение t_0,05/2. Объем каждой из выборок n₁ = n₂ =10. Поэтому число степеней свободы l = 18. Соответствующее значение t_0,05/2 равно 2,101. Отсюда доверительный интервал для среднего изменения диуреза:

т о есть

п олучаем