12. Проверка соответствия выбранной модели закона распределения исходным данным. Критерий согласия Колмогорова. Критерий согласия ω2 (омега-квадрат)

Применение многих методов статистической обработки данных предполагает, что результаты наблюдений являются выборкой из генеральной совокупности с вполне определенным законом распределения, например нормальным.

Чтобы оценить, насколько выбранный теоретически закон распределения согласуется с результатами наблюдений, используют так называемые критерии согласия.

В критерии Колмогорова в качестве статистики, определяющей меру расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями принимается наибольшее значение абсолютной величины разности между эмпирической Fn(x) и теоретической F₀(x) функциями распределения

Р аспределение случайной величины Dn не зависит от F₀(x) и для ее вычисления может использоваться формула:

К ритерий согласия ω² (омега-квадрат):

Данный критерий основан на статистике:

Для вычисления ω² по выборке можно использовать формулу

13. Проверка статистических гипотез. Основные понятия

Статистическая гипотеза – это утверждение относительно значений одного или нескольких параметров распределения или о самом виде распределения

Гипотеза, которая проверяется, называется нулевой гипотезой и обозначается H₀. Как правило за нулевую гипотезу принимают: исследуемые факторы не оказывают никакого влияния на рассматриваемый параметр; между сравниваемыми группами нет различий

Альтернативной гипотезой H₁ называется гипотеза, конкурирующая с нулевой, то есть противоречащая ей. Альтернативная гипотеза определяется формулировкой задачи

Для того чтобы иметь основания принять или отвергнуть рассматриваемую гипотезу необходимо выработать некоторый критерий, который называют критерием согласия проверяемой гипотезы с результатами эксперимента.

Выбор критерия согласия ─ это задание критического значения отклонения Da_кр, выбранного так, чтобы вероятность (α) превышения этого значения была малой.

Величину α, называют уровнем статистической значимости.

14. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных выборок

Проверяемая гипотеза имеет вид H₀: (σ₁)² = (σ₂)² = σ²

Альтернативная гипотеза H₁: (σ₁)² ≠ (σ₂)²

Т ребуется проверить гипотезу при уровне значимости α

Проверка гипотезы осуществляется с использованием статистики:

которая при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера со степенями свободы

l₁ = n₁ − 1 и l₂ = n₂ – 1.

Если наблюдаемое значение статистики F лежит между критическими значениями f_{l1, l2,1-α/2} и f_{l1, l2,α/2}, то нулевая гипотеза не отвергается.

15. Проверка гипотезы о равенстве двух средних независимых нормальных выборок

Предположим, что для сравнения двух методов обработки эксперимент был спланирован следующим образом. Отобранные для исследования однородные объекты были разделены на две группы. После применения к объектам каждой группы соответствующей обработки были зарегистрированы числовые значения некоторой характеристики объектов. Возникшие при этом две группы чисел образуют две независимые выборки.

Рассмотрим задачу сравнения математических ожиданий двух независимых нормальных совокупностей по имеющимся выборкам из них объемами n1 и n2.

Пусть по результатам обработки выборок получены значения оценок математических ожиданий выборочных средних) x ̄1 и x ̄2. Необходимо проверить, можно ли объяснить это различие только случайностью, связанной с конечным объемом выборки, или же оно связано с тем, что генеральные совокупности имеют различные математические ожидания. Таким образом, проверяемая гипотеза имеет

вид H₀ : m₁=m₂=m. Выбор критерия проверки зависит от того, значимо или незначимо отличаются между собой дисперсии генеральных совокупностей. Это можно сделать с помощью рассмотренного выше

F-критерия.

Если различие между выборочными дисперсиями и оказалось незначимым, т. е. генеральные дисперсии , то путем использования результатов обеих выборок можно получить более точную оценку генеральной дисперсии .

Такую оценку называют объединенной оценкой дисперсии, и она строится следующим образом:

Если гипотеза H₀ : m₁= m₂ справедлива, то случайная величина x ̄1 − x ̄2 подчиняется нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией

)

оценкой которой будет выборочная дисперсия

Статистикой критерия для проверки гипотезы H₀ служит случайная величина

которая имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы l=n₁+n₂−2.

Если альтернативная гипотеза имеет вид H1 : m1 ≠ m2, то нулевая гипотеза отвергается на уровне значимости α при условии, что вычисленное значение статистики T

где – процентная точка распределения Стьюдента.

Разность между математическими ожиданиями считается незначимой, если

При альтернативной гипотезе H₁ : m₁> m₂ гипотеза H⁰ отвергается, если

а при гипотезе H1 : m1<m2, если

Если различие между выборочными дисперсиями s₁² и s₂² оказалось значимым, т. е. выборки были извлечены из генеральных совокупностей с различными дисперсиями, то для сравнения двух выборочных средних используют статистику:

Р аспределение данной случайной величины близко к распределению Стьюдента с числом степеней свободы: