Оценка показателей тесноты связи по выборочным данным

П усть в результате эксперимента получены n выборочных значений случайной величины (X,Y), которые будем обозначать в виде

При изучении корреляционной зависимости двух случайных величин по выборке общую картину их взаимной изменчивости можно получить, изобразив на координатной плоскости все точки. Это изображение называют корреляционным полем.

Уже по виду корреляционного поля можно иногда сделать вывод о наличии и характере связи между случайными величинами X и Y

В случае, когда среди x_i есть повторяющиеся с частотой n_i значения Y, выборочные значения представляют в виде

Е сли выборочные значения сгруппированы по каждой из переменных, т. е. значения X разделены на m групп, а значения Y – на k групп, то выборочные значения представляют в виде

или в виде корреляционной таблицы, в каждой клетке которой указывают число n_ij попавших в нее выборочных значений:

36. Оценка показателя тесноты связи по выборочным данным. Анализ коэффициента корреляции

Оценка показателей тесноты связи по выборочным данным

П усть в результате эксперимента получены n выборочных значений случайной величины (X,Y), которые будем обозначать в виде

При изучении корреляционной зависимости двух случайных величин по выборке общую картину их взаимной изменчивости можно получить, изобразив на координатной плоскости все точки. Это изображение называют корреляционным полем.

Уже по виду корреляционного поля можно иногда сделать вывод о наличии и характере связи между случайными величинами X и Y

В случае, когда среди x_i есть повторяющиеся с частотой n_i значения Y, выборочные значения представляют в виде

Е сли выборочные значения сгруппированы по каждой из переменных, т. е. значения X разделены на m групп, а значения Y – на k групп, то выборочные значения представляют в виде

или в виде корреляционной таблицы, в каждой клетке которой указывают число n_ij попавших в нее выборочных значений:

Анализ коэффициента корреляции

Максимально правдоподобная оценка коэффициента корреляции, получаемая на основе n пар нормально распределенных случайных величин (x_i, y_i), i = 1,…n, имеет вид

г де

Если экспериментальные данные сгруппированы по одной или обеим переменным, то расчетная формула изменяется соответствующим образом. Например, если данные сгруппированы по значениям X, т. е. среди x_i есть повторяющиеся значения Y, то

Где

При достаточно большом объеме выборки (n ≥ 50) и небольших значениях коэффициента корреляции (r² << 1) оценка коэффициента корреляции близка к нормальному распределению с математическим ожиданием равным истинному значению r. Тогда для доверительной вероятности β = 1−α получим следующее выражение для доверительного интервала:

где z_1−α/2 – квантиль порядка 1−α/2 стандартного нормального распределения.

Д ля выборок небольших объемов (n< 50) и значениях |r| близких к единице распределение оценки коэффициента корреляции существенно отличается от нормального. В этом случае Фишер предложил использовать следующее преобразование над оценкой коэффициента корреляции, приводящей к новой случайной величине v:

Случайная величина v уже при небольших n (n ≥ 20) приблизительно распределена по нормальному закону с параметрами:

Т огда статистика

распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, а доверительный интервал для M[v] будет иметь вид

П рименив обратное преобразование Фишера

можно получить доверительный интервал для коэффициента корреляции.

З адача проверки некоррелированности (а значит и независимости) совместно нормальных случайных величин сводится к проверке гипотезы H₀: r = 0. Статистикой критерия проверки такой гипотезы является случайная величина

которая при справедливости нулевой гипотезы распределена по закону Стьюдента с n−2 степенями свободы. При альтернативной гипотезе H₁: r ≠ 0 нулевая гипотеза отвергается с уровнем значимости α, если