32. Непараметрические методы факторного анализа. Ранговый двухфакторный анализ без повторений

В ряде случаев предположение о нормальности закона распределения остаточных случайных величин в моделях, описанных в дисперсионном анализе, не выполняется. Более того, этот закон оказывается неизвестным. Тогда используют различные непараметрические методы проверки однородности нескольких выборок, из которых наиболее разработаны ранговые методы.

Обозначив через r_ij ранг значения x_ij, который получит это значение при упорядочении всей совокупности данных в порядке возрастания, придем к следующей таблице данных.

В рамках ранговых критериев нулевая гипотеза формулируется как гипотеза о том, что все k выборок (столбцов таблицы) являются выборками из одного и того же распределения.

Строго говоря, если нулевая гипотеза отвергается, то можно только утверждать, что распределения совокупностей различны. Это, однако, не означает, что их средние не равны между собой. Для вывода о том, что выборки производились из совокупностей с различными математическими ожиданиями, необходимо предположить, что эти совокупности одинаковы по всем другим параметрам.

Критерий Фридмана

Рассмотрим двухфакторный эксперимент, когда на уровнях фактора B проведено по одному наблюдению (неповторяемый эксперимент). Его модель имеет вид

В отличие от дисперсионного анализа нам неизвестно распределение случайных величин ε_ij. Известно только, что оно непрерывно, а сами случайные величины независимы в совокупности и имеют одинаковое распределение.

В этом случае для оценки влияния на исследуемый признак факторов A и B используется непараметрический критерий Фридмана, который основан на переходе от значений x_ij в таблице данных двухфакторного анализа к их рангам.

В отличие от однофакторного анализа ранжирование осуществляется не по всей совокупности величин x_ij , а по строкам (для проверки однородности данных по столбцам таблицы данных), т. е. ранжируется каждая отдельная строка таблицы данных.

Обозначим полученные ранги величин x_ij через r_ij. Будем считать, что среди элементов x_ij, стоящих в одной строке таблицы, нет совпадающих. Определим средние значением рангов по i-му столбцу

При справедливости нулевой гипотезы в силу равновероятности всех перестановок рангов в каждой строке значение R_i. для каждого i не должно сильно отличаться от величины R.. = 0.5(k + 1), представляющей собой общий средний ранг всех элементов таблицы рангов.

О тсюда статистика Фридмана, используемая для проверки нулевой гипотезы, будет определяться как

При вычислениях удобно использовать другую запись статистики:

Для небольших значений k и n имеются таблицы процентных точек распределения статистики Фридмана, позволяющие при заданном уровне значимости α находить критические значения s(k, n, α).

При больших n для определения критических значений пользуются аппроксимацией статистики S. При справедливости нулевой гипотезы статистика в этом случае аппроксимируется распределением χ² с k−1 степенями свободы.

Нулевая гипотеза об однородности данных по столбцам (отсутствие влияния фактора A) принимается с уровнем значимости α, если расчетное значение статистики S меньше критического значения и отвергается, если оно больше критического.

Если в строках таблицы данных имеются совпадающие значения, при переходе к таблице рангов используются средние ранги, а вместо статистики S используется ее модификация.

Для проверки гипотезы об эффектах фактора B (строк) следует поменять местами строки и столбцы таблицы данных.