56. Нелинейная регрессия

Во многих случаях линейные по параметрам модели регрессии могут служить лишь в качестве первого приближения к истинной модели. Существует много ситуаций, в которых модели такого вида не пригодны. Если мы приходим к заключению, что модель имеет нелинейную форму, то необходимо воспользоваться для описания именно этой, а не более простой линейной моделью.

Нелинейные модели можно подразделить на два класса, которые условно называются внутренне линейными и внутренне нелинейными.

Если модель внутренне линейна, то с помощью подходящего преобразования ее можно привести к стандартной линейной модели.

Н апример, модель

где α и β – неизвестные параметры, ε – мультипликативная случайная ошибка, логарифмированием обеих частей уравнения может быть переведена в линейную форму

к которой можно применять стандартные методы исследования линейной регрессии. Однако следует подчеркнуть, что для того, чтобы критерий значимости и оценка доверительных интервалов были обоснованными, необходимо соблюдение условия: логарифмы ошибок должны подчиняться нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией.

Д ругая модель

является внутренне нелинейной, и поэтому общие методы линейной регрессии для этой модели непригодны.

Если модель регрессии линейна, то оценки метода наименьших квадратов будут оптимальными, поскольку они являются несмещенными оценками с минимальной дисперсией.

Но если модель нелинейна, то методы получения наилучших оценок параметров отсутствует . Однако если ошибки ε_i представляют собой независимые случайные величины, распределенные нормально с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией, то с помощью метода наименьших квадратов могут быть получены оценки параметров уравнения регрессии, которые минимизируют сумму квадратов отклонений наблюдений от линии регрессии.

Если в случае линейной модели оценки получаются из решения системы линейных уравнений, то в случае нелинейной модели приходится решать систему нелинейных уравнений и соответствующее решение уже нельзя представить в явном виде. По этой причине приходится использовать различные итерационные методы для численного определения оценок метода наименьших квадратов.

Статистические методы линейной регрессии могут быть адаптированы для нелинейной регрессии, однако статистический анализ при этом будет приближенным.

57. Оценка результата измерения: Виды измерений

Измерение определяется как “нахождение физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств”

Процесс измерения может быть определен как операция, посредством которой определяется отношение одной измеряемой величины к другой однородной величине, принимаемой за единицу.

Величина, выражающая такое отношение, называется численным значением измеряемой величины.

Различают следующие виды измерений физических величин:

• Прямые измерения

• Косвенные измерения

• Совместные измерения

• Совокупные измерения

Прямыми называются измерения, при которых значения величины находят непосредственно из экспериментальных данных – результатов измерений.

Косвенными называются такие измерения, при которых исследуемая величина определяется с помощью известных соотношений между физическими величинами, найденными в результате прямых измерений.

Совместными называются одновременные измерения двух или нескольких не одноименных величин, характеризующих состояние исследуемого объекта, для нахождения зависимости между этими величинами.

Совокупными называются измерения нескольких одноименных величин, при этом результаты измерений находят путем решения системы линейных уравнений