1. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.

Опр. 1: Функция f(x) называется возрастающей в широком смысле на множестве Х, если .В частности, если всегда функция наз. возрастающей в узком или строгом смысле.Опр. 2: Функция f(x) называется убывающей на Х в широком смысле, если .В частности, если всегда функция наз. убывающей в узком или строгом смысле. Опр. 3: Возрастающие и убывающие функции наз. монотонными (в узком или строгом смысле).Теорема 1: Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), тогда f(x) возрастает (убывает) в широком смысле на отрезке тогда и только тогда, когда на (a, b).

1) Необходимость. Если f(x) возрастает на [a, b], то на (a, b).

Возьмем любую , любое причем такие, что , то в силу возрастания функции следует , тогда дробь , следовательно .

2) Достаточность. Если на (a, b), то f(x)- возрастает на [a, b].

Возьмем любое и такие, что . Составим разность . Применим теорему Лагранжа: , получается, что .■

Теорема 2: Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b). Если ( ) на (a, b), то f(x) возрастает (убывает) на [a, b].

 Рассмотрим случай . По теореме Лагранжа , то , .■

З амечание: Эта теорема является достаточным признаком возрастания и убывания функции. Обратное предложение не верно.

Пример: (на неверно) y=x³ возрастает на R x=0, касательные совпадают с осью ОХ.

2. Многочлены от одной переменной над полем действительных чисел. Сопряженность мнимых корней, описание неприводимых многочленов.

Пусть , т. е.

Предложение: Если яв. корнем f(x) , то также яв-ся корнем f(x).

↓ Испол. св-во сопряжения:

; ; => . ↑

Многочлен полож. ст. над R наз. неприводимым, если его нельзя представить в виде произведения двух многочленов меньшей степени.

Теорема: Неприводимый многочлен над R имеет степень ≤ 2.

↓Пусть , по основной теореме алгебры существует корень

1. неприводим , т. е. .

2. также корень (по лемме). По предложению и ↑

Следствие: Если , то его можно представить в виде , где не превышает квадрата трехчлена, т. е. .

Теорема Безу: Пусть многочлен над коммутативным кольцом с единицей К и пусть , тогда , где f(c) наз. остатком.

Основная теорема алгебры: Многочлен положител. степени над полем С имеет хотя бы один корень.

(Дополнительно) Свойства сопряжения:

1. . 2) 3) 4)

5) 6) 7)

Билет №9

1. Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции.

О пр. 1: Точка х₀ называется точкой максимума f(x), если у точки х₀ имеется такая окрестность, что при любом х из этой окрестности выполняется неравенство .

Опр. 2: Точка х₀ называется точкой минимума f(x), если у точки х₀ имеется такая окрестность, что при всех значениях х этой окрестности выполняется неравенство .

Значение функции в точке максимума и минимума называется ее максимумами и минимумами.

Максимумы и минимумы функции называются ее экстремумами, а соответствующее значение аргумента- точка экстремума.

Теорема 1: Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b). Если есть точка экстремума функции, то .

 Пусть х₀- точка максимума f(x), то при некоторой окрестности точки х₀, тогда в этой точке функция имеет наиб значение в этой окрестности, а следовательно по теореме Ферма. ■ Замечание: 1) необходимый признак экстремума функции, обратное предложение не верно. Приведем пример на неверно.Пример 1: х=0 с одной стороны, но с другой стороны х=0 не является точкой экстремума функции.

2) в точке экстремума функции ее производная может быть не только равна 0, но и не быть конечной.

Пример 2: . (т.е. не существует).Опр. 3: Точки в которых производная функции равна нулю называют ее стационарными точками.Опр. 4 : Точки в которых производная функции не равна нулю или не является конечной, называются критическими точками функции. Теорему 1 можно обобщить так: любая точка экстремума функции является ее критической точкой (но не обратно).Теорема 2: Пусть функция f(x) определена и непрерывна на Х, т. е. х₀ Х есть критическая точка функции и на некоторой окрестности этой функции за искл может быть самой точки х₀, функция имеет производную, которая слева и справа от точки х₀ (в отдельности) сохраняет постоянный знак, тогда 1) если в точке х₀ меняет знак с + на – (при перемещении в положит направлении оси ОХ), то х₀ есть точка максимума функции; 2) если в точке х₀ меняет знак с – на +, то х₀ –точка минимума; 3) если в точке х₀ функция не меняет знака, то х₀ не является точкой экстремума.Пусть 1) в точке х₀ меняет знак с + на –. Пока, что >0 на (a, х₀) следовательно f(x) возрастает на (a, х₀]:

.

2) <0 на (х_0, b)à f(x) убывает на [х₀, b):

[х₀, b)

- точка максимума.

3) >0 положительно и слева и справа от точки х₀, тогда f(x) возрастает на (a, х₀] и [х₀, b), т. е. на .■ Теорема является достаточным признаком экстремума функции.