Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Itogovyy_variant.doc
Скачиваний:
14
Добавлен:
19.09.2019
Размер:
23.65 Mб
Скачать

1. Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на промежутке X и во внутренней точке имеет наибольшее и наименьшее значения. Если в этой точке производ. функ., то =0.

↓Докажем случай когда - наибольшее значение функции на всём промежутке.

= , т.к. в - наибол. значение, то .

1). Если x< , то x- <0, , = (одно из св-в пределов).

2). Если x> , то x- >0, , (из подчёркнутого) =0 ↑

Геометрический смысл теоремы:

kкас= =0 касательная // Ох.

Теорема Ролля. Пусть функция f(x) удовлетворяет следующему условию:

1) Она определена и непрерывна на отрезке [a;b];

2) дифференцируема на интервале (a;b);

3) f(a)=f(b), тогда , такая что .

Геометрический смысл теоремы: Начертим график непрерывной дифференцируемой функции.

такая, что kкас= , касательная // Ох.

Теорема Лагранжа. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), тогда , такая что = , т.е. .

Г еометрический смысл теоремы: kсек= = , тогда , такое что

касательная //секущей, т.е. kкас.=kсек., т.е. = .

Таких точек может быть и не одна.

Теорема Ролля есть частный случай т. Лагранжа, когда

2. Смеш. Произ. 3 в-ров 3-х мерного Евклидова пр-ва. Его св-ва и прим. К реш. Геомет. Задач.

Смешанным произв.трех векторов , взятых в указанном порядке, наз. число, равное скалярному произв.[ ] .Установим геометрический смысл смешанного произведения некомпланарных векторов .Теор.1 Смешанное произведение 3-х некомпланарных векторов , по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах.

По опр. .[ ] ), - некомплан., отлож.от одной точки. Достроим до параллепипеда(рис) ОАDBC , CH – высота. V=Sосн.CH. Sосн= . Обоз. через ). Возможны случаи:1) 0 , CH= . V= ;2)90 . CH=

V= .

Следствие.1 Если ( ) – ортонормированный базис, то смешанное произведение , если ( ) – правая, , если ( ) – левая.

Геометрическое св-во:

Теор.2 =0  , когда - компланарны.

- компланарны => они линейно зависимы .

Необходимость:

Дано: => - компланарны.

Доказать: - компланарны. - компланарны .

Следствие.2 - некомпланарны.

Опр. Тройка векторов называется ориентированной, если указан ее порядок.

Опр. Параллелепипед, построенный на называется ориентированным положительно, если - правая, и отрицательно, если -левая.

Опр. Объем ориентированного параллелепипеда считается положительным, если - правая, и отрицательным, если - левая.

Алгебр.св-ва смеш.произв.: 1) ; .2) ( . Спаведливость всех свойств вытекает из свойств определителя.

Смешанное произведение в координатной форме:

Пусть в ( ) даны

Теор.3

,

Следствие.3 - компланарны, , когда (*) – условие компланарности.

Замечание. Условие (*) компланарности 3-х векторов имеет такой же вид, что и в базисе ( ).

Следствие.4 - некомпланарны  (**)

Условие (**) называется условием некомпланарности и имеет такой же вид и в афинном базисе.

Применение: Лежат ли 4 точки в одной плоскости? A(1,1,0), B(-1,0,3), C(-2,2,1), D(2,3,0)

Билет №8

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]