Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Itogovyy_variant.doc
Скачиваний:
13
Добавлен:
19.09.2019
Размер:
23.65 Mб
Скачать

1. Несчетность множества точек отрезка [ 0,1 ]

Мн-во А наз-ся несчетным, если оно неэквивалетно мн-ву натуральных чисел.

Т.Кантора(о несчетности множества точек отрезка [0,1]): Множество точек отрезка [0,1] несчетно.

↓Предположим, что мн-во точек [0,1] счетно: Разделим отрезок [0,1] на 3 равные части: [0, ]; [ ], и выберем тот из отрезков, кот.не содержит ни внутри, ни на границе. Обозначим его через , т.е. не принадлежит . также поделим на 3 равные части и выберем ту часть, кот.не содержит ни внутри, ни на границе. Обозначим эту часть , т.е. не принадлежит и . Продолжая эту процедуру, мы получим последовательность вложенных друг в друга отрезков Причем длины этих отрезков стремятся к нулю и . В силу принципа вложенных отрезков сущ.т. с для , причем с . А следовательно, т. с в исходном списке точек отрезка отсутствует, т.е. т.с оказалась незанумерованной. Это противоречие доказывает теорему. ↑Мощность мн-ва точек отрезка [0,1] называют мн-вом мощности континуум.

2. Кольцо классов вычетов, приведённая система классов вычетов.

Целые числа a и b сравнимы по mod m, если m|a-b, запис. .Класс эквив-ти по мод. m наз. классом вычетов, т.е. числа из класса вычетов б. наз. вычетами этого кл.Предл. 1: Отношение сравнения яв. отношением эквив-ти. => Мн-во целых чисел Z разбивается на классы эквив-ти: (классом эквив-ти, соотв. вычету , наз. мн-во ) , где классы либо совпадают, либо не пересекаются.Предл. 2: НОД (a,m)=(b,m) для , т.е. вычета класса имеют один и тот же НОД с модулем m.Класс вычетов наз. взаимно простым с модулем, если каждый его вычет взаимно прост с модулем.Пример: Пусть m=6. Класс вычетов состоит из чисел . НОД любого из этих чисел и модуля 6 равен 2. Значит, . НОД любого числа из класса взаимно прост с модулем 6.Полной сист. вычетов по модулю m наз. мн-во вычетов, взятых по одному из каждого класса вычетов.Приведенной системой вычетов по модулю m наз. мн-во вычетов, взятых по одному из каждого взаимно простого класса вычетов по модулю m.

Предл. 3: Число вз/простых классов вычетов по модулю m равно φ(m), где φ(m)-число вз/простых с модулем m чисел из ряда {0,1,…,m-1} или {1,2,…,m}.Критерий ПрСВ: Мн-во вычетов образует ПрСВ по модулю m уд. след. усл.:

1) сод. φ(m) вычетов; 2) вычеты попарно не сравнимы; 3) вычеты вз/просты с модулем.

Теор. (о ПрСВ): Пусть (a,m)=1 и пусть пробегает ПрСВ. Тогда у=ах также пробегает ПрСВ.

↓Пусть -ПрСВ по модулю m. Тр. д-ть, что обр. ПрСВ.

Воспол. критерием. 1) y пробегает φ(m) значений;

2) значения попарно несравнимы, т.к. из , что против. усл.;

3) заметим: -вз/просты с модулем. ↑

Теорема Эйлера: Если (a, m)=1, где , m-модуль, то .

↓ Пусть -наимен. полож. ПрСВ (взяты из ряда 1,2,…,m). По теор. о ПрСВ => { }-ПрСВ. Это означает, что .

Т.к. вз/просты с m, то можно сравнение сократить . ↑

Теорема Ферма: Если (a, р)=1, где р – простое, то .

↓Это следует из теор. Эйлера, т.к. φ(р)=р-1: . ↑

Множество классов вычетов по модулю m Zm наз. кольцом классов вычетов по модулю m.

- является кольцом и называется кольцом классов вычетов по модулю m. Проверим аксиомы:

1) - кольцо, если ; 2) на К определены бинарные операции + и *, удовлетворяющие условиям: - абелева группа;

- полугруппа, т.е. ассоциативность ,

Из определения сравнения по модулю m получаем: целое число х принадлежит классу вычетов по модулю m в том и только в том случае, когда х имеет вид: , где , т.е. когда .

Пример: Пусть m=2. При делении целых чисел на 2 будем получать лишь 2 различных остатка 0 и 1. Множество всех целых чисел разобьётся на 2 класса и . Класс содержит все чётные числа, а класс – нечётные.

Билет №20

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]