1. Несчетность множества точек отрезка [ 0,1 ]
Мн-во А наз-ся несчетным, если оно неэквивалетно мн-ву натуральных чисел.
Т.Кантора(о несчетности множества точек отрезка [0,1]): Множество точек отрезка [0,1] несчетно.
↓Предположим, что мн-во точек [0,1] счетно:
Разделим
отрезок [0,1] на 3 равные части: [0, 
];
[
],
и выберем тот из отрезков, кот.не содержит
ни внутри, ни на границе. Обозначим его
через 
,
т.е.
не принадлежит
.
также поделим на 3 равные части и выберем
ту часть, кот.не содержит 
ни внутри, ни на границе. Обозначим эту
часть 
,
т.е.
не принадлежит
и 
.
Продолжая эту процедуру, мы получим
последовательность вложенных друг в
друга отрезков 
Причем
длины этих отрезков стремятся к нулю и
.
В силу принципа вложенных отрезков
сущ.т. с
для 
,
причем с
.
А следовательно, т. с в исходном списке
точек отрезка отсутствует, т.е. т.с
оказалась незанумерованной. Это
противоречие доказывает теорему.
↑Мощность мн-ва точек отрезка [0,1]
называют мн-вом мощности континуум.
2. Кольцо классов вычетов, приведённая система классов вычетов.
Целые числа a
и b сравнимы
по mod m,
если m|a-b,
запис.
.Класс
эквив-ти по мод. m наз.
классом вычетов, т.е. числа из
класса вычетов б. наз. вычетами
этого кл.Предл. 1: Отношение сравнения
яв. отношением эквив-ти. => Мн-во целых
чисел Z разбивается
на классы эквив-ти: (классом эквив-ти,
соотв. вычету
,
наз. мн-во
)
,
где классы либо совпадают, либо не
пересекаются.Предл. 2: НОД (a,m)=(b,m)
для
,
т.е. вычета класса имеют один и тот же
НОД с модулем m.Класс
вычетов наз. взаимно простым с
модулем, если каждый его вычет
взаимно прост с модулем.Пример:
Пусть m=6. Класс
вычетов
состоит из чисел
.
НОД любого из этих чисел и модуля 6 равен
2. Значит,
.
НОД любого числа из класса
взаимно прост с модулем 6.Полной
сист. вычетов по модулю m
наз. мн-во вычетов, взятых по одному из
каждого класса вычетов.Приведенной
системой вычетов по модулю m
наз. мн-во вычетов, взятых по одному из
каждого взаимно простого класса вычетов
по модулю m.
Предл. 3: Число вз/простых классов вычетов по модулю m равно φ(m), где φ(m)-число вз/простых с модулем m чисел из ряда {0,1,…,m-1} или {1,2,…,m}.Критерий ПрСВ: Мн-во вычетов образует ПрСВ по модулю m уд. след. усл.:
1) сод. φ(m) вычетов; 2) вычеты попарно не сравнимы; 3) вычеты вз/просты с модулем.
Теор. (о ПрСВ): Пусть (a,m)=1 и пусть пробегает ПрСВ. Тогда у=ах также пробегает ПрСВ.
↓Пусть
-ПрСВ
по модулю m. Тр. д-ть, что
обр.
ПрСВ.
Воспол. критерием. 1) y пробегает φ(m) значений;
2) значения попарно несравнимы, т.к. из
,
что против. усл.;
3) заметим:
-вз/просты
с модулем. ↑
Теорема Эйлера: Если (a,
m)=1, где
,
m-модуль, то
.
↓ Пусть
-наимен.
полож. ПрСВ (взяты из ряда 1,2,…,m).
По теор. о ПрСВ => {
}-ПрСВ. Это означает, что
.
Т.к.
вз/просты с m, то можно
сравнение сократить
.
↑
Теорема Ферма: Если (a,
р)=1, где р – простое, то
.
↓Это следует из теор. Эйлера, т.к.
φ(р)=р-1:
.
↑
Множество классов вычетов по модулю m Zm наз. кольцом классов вычетов по модулю m.
- является кольцом и называется кольцом
классов вычетов по модулю m.
Проверим аксиомы:
1)
- кольцо, если
;
2) на К определены бинарные операции
+ и *, удовлетворяющие условиям:
-
абелева группа;
- полугруппа, т.е. ассоциативность
,
Из определения сравнения по модулю m
получаем: целое число х принадлежит
классу вычетов
по модулю m в том и
только в том случае, когда х имеет вид:
,
где
,
т.е. когда
.
Пример: Пусть m=2.
При делении целых чисел на 2 будем
получать лишь 2 различных остатка 0 и 1.
Множество всех целых чисел разобьётся
на 2 класса
и
.
Класс
содержит
все чётные числа, а класс
– нечётные.
Билет №20