2.Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского.

Аксиома параллельности Лобачевского. Пусть - произвольная прямая, - точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой и прямой , существует не менее двух прямых, проходящих через точку и не пересекающих прямую . Теорема. Пусть на плоскости даны прямая и точка . Существует бесконечное множество прямых этой плоскости, проходящих через точку и не пересекающих прямую . По аксиоме Лобачевского существуют две прямые и , проходящие через точку и не пересекающие прямую . Рис. Прямая лежит в одной полуплоскости, ограниченной прямой , причем эта полуплоскость пересекает прямую по лучу . На луче, дополнительном к , возьмем какую-либо точку . Точка и прямая лежат в разных полуплоскостях, ограниченных прямой , и, значит, если , то . Пусть - внутренняя точка отрезка . Мы утверждаем, что . Предположим противное: . Т.к. и , то . Значит, - точка луча , дополнительного к . Применим аксиому Паша к треугольнику и прямой . Прямая не содержит ни одной вершины этого треугольника, пересекает сторону и не пересекает сторону . Следовательно, прямая пересекает сторону . Мы получили: , что противоречит условию. Отсюда заключаем: . Т.к. содержит бесконечное множество точек, то теорема доказана. (Аксиома Паша. Пусть - три точки, не лежащие на одной прямой, а - прямая в плоскости , не проходящая ни через одну из точек . Тогда если прямая проходит через точку отрезка , то она проходит также через точку отрезка или .) Прямая называется параллельной прямой , если : 1) эти прямые не имеют общих точек; 2) для любых точек на и на любой внутренний луч пересекает луч . Признак параллельности прямых. Если прямые и не имеют общих точек и существуют точки на и на , такие, что любой внутренний луч пересекает луч , то прямая параллельна прямой . Теорема существования параллельных прямых. Пусть - произвольная направленная прямая, - точка, не лежащая на ней. Тогда существует одна и только одна прямая , проходящая через точку и параллельная прямой . Две прямые на плоскости Лобачевского называются сверхпараллельными, если они не пересекаются и не параллельны. Теорема 1. На плоскости Лобачевского две прямые, имеющие общий перпендикуляр, сверхпараллельны. Следствие. На плоскости Лобачевского не существует общего перпендикуляра у двух параллельных прямых. Теорема 2. Две сверхпараллельные прямые не могут иметь более, чем один перпендикуляр. Теорема 3. Расстояния от точек одной из двух сверхпараллельных прямых до другой увеличиваются по обе стороны от их общего перпендикуляра. Теорема 4. Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то эти две прямые сверхпараллельны. Следствие. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны или сумма односторонних углов равна 180 градусам, то эти прямые сверхпараллельны. Свойства: 1) Если то и в заданном направлении; 2) Если в заданном направлении, то в том же направлении; 3) Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов не равна 180 градусам, она меньше 180 в сторону параллельности. Соответственные и накрест лежащие углы не равны.

Билет №27

1. Лин. комбинация сист. векторов. Лин. Зависим. и независимость системы векторов, свойства.

Системой векторов называется посл-ть (совокупность) из этих векторов.

Линейной комбинацией системы векторов наз. (эл-т вектор. пр-ва) вектор , , равный сумме произв. этих векторов на некоторые скаляры.

Выразить вектор через систему векторов , означает найти скаляры : .Система векторов наз. линейно зависимой, если не все равные нулю, такие что . (Сист. в-ров лин. завис., если сущ. лин. комбинация этих в-ров равная нулевому в-ру с не всеми нулевыми скалярами.)Сист. векторов линейно независима, если из равенства нулевому в-ру лин. комбинации этих в-ров следует рав-во нулю этих скаляров.Критерии линейной зависимости: Сист. в-ров линейно зависима т.т.т., когда некот. в-ры этой системы лин. выр-ся ч/з остальные:

↓(=>) Сист. в-ров лин. завис. <=> не все равные нулю такие, что .

Положим (без огранич. общности) , тогда выр-ся ч/з остальные, ч.т.д.

(<=) Некот. в-ры выр-ся ч/з остальные. Пусть это будет , то есть => . Имеем нулевую лин. комбинацию с ненулевыми коэф. => сист. линейна зависима, ч.т.д. ↑Свойства линейной зависимости:

1. Сист., сод. лин. завис. подсист., яв. лин. завис. В частности, сист., сод. нулевой в-р, яв-ся лин. завис.

Предположим, что в системе первый вектор нулевой, тогда очевидно равенство показывает, что вектор а₁ есть линейная комбинация остальных векторов, т.е. что система линейно зависима.2.Если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима.Действительно, пусть часть системы , состоящая из первых k элементов (k<m), линейно зависима. Это означает, что существуют числа , не равные одновременно 0, такие, что . Тогда , т.е. вся система линейно зависима.3.(Лемма о расширенной сист. в-ров) Если сист. в-ров лин. независ., а расширенная сист. (добавим в-р) - лин. завис., то добавленный в-р лин. выр-ся ч/з исходную систему.

↓Т.к. линейно зависима, то сущ. коэф. не все равные нулю, такие что . Предположим, что последний коэф.равен 0, тогда , причем не все скаляры равны 0⇒ - лин.завис., что противоречит усл-ию. Т.о. всегда ↑