Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Itogovyy_variant.doc
Скачиваний:
14
Добавлен:
19.09.2019
Размер:
23.65 Mб
Скачать

2. Прямая на плоскости как линия первого порядка.Взаим.Распол. Двух прямых.

«Прямая» - неопределяемое понятие в геометрии.Задана прямая , на ней взята т. - начальная, , пусть т. - текущая. Для выполняется условие - направляющему вектору.Общее свойство всех точек прямой (условие определяющее прямую): .

Различные способы задания прямой (направляющим вектором и точкой) и соответствующие им уравнения.

Пусть дана т. , . Через т. параллельно можно провести и единственную прямую (аксиома параллельных). Следовательно, точкой и своим направляющим вектором прямая задается однозначно. Возьмем на плоскости АСК (косоугольная система координат) прямую , заданную т. и направляющим вектором . Пусть текущая точка прямой, было установлено, что или (*) (1 признак коллинеарности) .

а) векторное уравнение прямой:

Покажем на чертеже и (рис.)

, получаем, , где , , .

б) параметрическое уравнение прямой

Условие (*) запишем в координатах. (1)

В уравнение входит число , которое называется параметром, , каждому значению соответствует единственная точка на прямой, и обратно.

в) каноническое уравнение прямой

Условие (*) по 2 пр. коллинеарности можно записать так: (2) более корректно (по 3 пр. коллинеарности) (3), т.к. среди координат и одна может быть равна 0.

(НЕ НАДО: уравнение по 2 точкам: уравнение по точке и вектору нормали: .)

Теорема об общем уравнении прямой: Пусть задана АСК и прямая , точкой и направляющим вектором . Тогда уравнение прямой записывается в каноническом виде , т.к. , то хотя бы одна из его координат не равна 0. В полученном уравнении, ни один из коэффициентов не равен 0. Следовательно, уравнение 1-ой степени, а линия, которая задана уравнением 1 степени называется линией 1-го порядка, следовательно, прямая – линия 1-го порядка. Верно и обратное: всякое уравнение от двух переменных x и y, т.е. уравнение вида (4) определяет на плоскости прямую линию .

Пусть , тогда (3) уравнение вида (3).Оно определяет прямую через т. , тогда и равносильное ему уравнение (4) задает ту же самую прямую. Итак, уравнение (4) – общее уравнение прямой на плоскости.

Взаимное расположение 2-х прямых на плоскости, заданных общими уравнениями.

Пусть на плоскости задана АСК и 2 прямые своими общими уравнениями: . Исследование взаимного расположения 2-х прямых сводится к выяснению, имеют ли прямые общие точки, сколько их, и пересекаются ли вообще?

Решение сводится к исследованию систем уравнений этих прямых: (1)

После элементарных преобразований (1) можно привести к виду: , где - определители.

Случай 1: имеет единственное решение – координаты точки общие для 2-х прямых, следовательно, координаты точки пересечения.

Случай 2:

система несовместна, следовательно, решений не имеет, т.е. прямые параллельны.

Случай 3:

равенство выполняется при система имеет бесчисленное множество точек и .

Доказано, что 2 прямые заданные общим уравнением (1): 1. Пересекаются, если коэффициенты при неизвестных пропорциональны. 2. Параллельны, если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но не пропорциональны свободные члены. 3. Совпадают, если коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Угол между двумя прямыми

Билет №10

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]