- •1. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.
- •2. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их св-ва.
- •1. Эквивалентность определений предела функции по Коши и Гейне.
- •1. Основные свойства предела функции.
- •1.Сумма, произведение, частное и композиция непрерывных функций.
- •2. Симметрические многочлены от нескольких переменных. Основная теорема о симметрических многочленах. Формулы Виета.
- •1. Свойства функций непрерывных на отрезке.
- •2. Векторное ум. Двух векторов трёхмерного евклидового пространства, его свойства и применение к решению задач
- •Геометрические свойства
- •Алгебраические свойства
- •1. Производная суммы, произведения, частного и композиции функции. Произв. Обратной функ.
- •2. Система аксиом плоскости Лобачевского,д-во ее непротиворечивости.
- •1. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •2. Смеш. Произ. 3 в-ров 3-х мерного Евклидова пр-ва. Его св-ва и прим. К реш. Геомет. Задач.
- •1. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.
- •2. Многочлены от одной переменной над полем действительных чисел. Сопряженность мнимых корней, описание неприводимых многочленов.
- •1. Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции.
- •2. Прямая на плоскости как линия первого порядка.Взаим.Распол. Двух прямых.
- •Различные способы задания прямой (направляющим вектором и точкой) и соответствующие им уравнения.
- •Взаимное расположение 2-х прямых на плоскости, заданных общими уравнениями.
- •1. Линейные св-ва опред.Интеграла и св-ва,связанные с неравенствами.
- •Линейные свойства интеграла Римана.
- •Свойства, связанные с неравенствами.
- •1. Достаточное условие существования определенного интеграла.
- •2. Эллипс,гипербола,парабола. Вывод канон.Ур-ия, изучение формы.
- •1. Теорема дифференц. Опред. Интеграла по верхнему пределу.Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Отношение делимости в кольце многочленов от одной переменной над полем. Нод двух многочленов. Алгоритм Евклида.
- •2. Плоскость как поверхность первого порядка. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •7.3. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •2. Отношение сравнения целых чисел, свойства. Сравнения первой степени.
- •1. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости ф-ций комплексной переменной. Понятие аналитической ф-ции в точке и в области.
- •Счетность множества рациональных чисел.
- •1. Несчетность множества точек отрезка [ 0,1 ]
- •2. Кольцо классов вычетов, приведённая система классов вычетов.
- •1. Скалярное умножение двух векторов трехмерного евклидова пространства, его свойства и применение к решению геометрических задач.
- •2. Неприводимые многочлены над полем. Разложение многочлена в произведения неприводимых множителей и его единственность над полем.
- •1. Векторные пространства, простейшие свойства, примеры векторных пространств. Подпространства.
- •Применение гомотетии (подобия) к решению задач на построение (или на доказательство).
- •Классиф. Движений первого рода плоскости, их применение к решению задач по геометрии.
- •2. Простые и составные числа. Бесконечность мн-ва простых чисел.
- •1. Тригон. Форма комп. Числа. Формула Муавра. Корни n – ой степени из комплексного числа.
- •1.Классификация движений второго рода плоскости, их применение к решению геом. Задач.
- •2. Системы линейных ур-ий, их виды. Равносильные системы линейных ур-ий. Метод исключения неизвестных, критерий совместности и неразрешимости.
- •2. Изображение пространственных фигур в параллельной проекции.
- •2.Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского.
- •2. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
- •14 Вопрос. Проективная плоскость (пп) и ее модели.
- •19. Кривизна и кручение кривой в трехмерном евклидовом пространстве.
2. Прямая на плоскости как линия первого порядка.Взаим.Распол. Двух прямых.
«Прямая» - неопределяемое понятие в геометрии.Задана прямая , на ней взята т. - начальная, , пусть т. - текущая. Для выполняется условие - направляющему вектору.Общее свойство всех точек прямой (условие определяющее прямую): .
Различные способы задания прямой (направляющим вектором и точкой) и соответствующие им уравнения.
Пусть дана т. , . Через т. параллельно можно провести и единственную прямую (аксиома параллельных). Следовательно, точкой и своим направляющим вектором прямая задается однозначно. Возьмем на плоскости АСК (косоугольная система координат) прямую , заданную т. и направляющим вектором . Пусть текущая точка прямой, было установлено, что или (*) (1 признак коллинеарности) .
а) векторное уравнение прямой:
Покажем на чертеже и (рис.)
, получаем, , где , , .
б) параметрическое уравнение прямой
Условие (*) запишем в координатах. (1)
В уравнение входит число , которое называется параметром, , каждому значению соответствует единственная точка на прямой, и обратно.
в) каноническое уравнение прямой
Условие (*) по 2 пр. коллинеарности можно записать так: (2) более корректно (по 3 пр. коллинеарности) (3), т.к. среди координат и одна может быть равна 0.
(НЕ НАДО: уравнение по 2 точкам: уравнение по точке и вектору нормали: .)
Теорема об общем уравнении прямой: Пусть задана АСК и прямая , точкой и направляющим вектором . Тогда уравнение прямой записывается в каноническом виде , т.к. , то хотя бы одна из его координат не равна 0. В полученном уравнении, ни один из коэффициентов не равен 0. Следовательно, уравнение 1-ой степени, а линия, которая задана уравнением 1 степени называется линией 1-го порядка, следовательно, прямая – линия 1-го порядка. Верно и обратное: всякое уравнение от двух переменных x и y, т.е. уравнение вида (4) определяет на плоскости прямую линию .
Пусть , тогда (3) уравнение вида (3).Оно определяет прямую через т. , тогда и равносильное ему уравнение (4) задает ту же самую прямую. Итак, уравнение (4) – общее уравнение прямой на плоскости.
Взаимное расположение 2-х прямых на плоскости, заданных общими уравнениями.
Пусть на плоскости задана АСК и 2 прямые своими общими уравнениями: . Исследование взаимного расположения 2-х прямых сводится к выяснению, имеют ли прямые общие точки, сколько их, и пересекаются ли вообще?
Решение сводится к исследованию систем уравнений этих прямых: (1)
После элементарных преобразований (1) можно привести к виду: , где - определители.
Случай 1: имеет единственное решение – координаты точки общие для 2-х прямых, следовательно, координаты точки пересечения.
Случай 2:
система несовместна, следовательно, решений не имеет, т.е. прямые параллельны.
Случай 3:
равенство выполняется при система имеет бесчисленное множество точек и .
Доказано, что 2 прямые заданные общим уравнением (1): 1. Пересекаются, если коэффициенты при неизвестных пропорциональны. 2. Параллельны, если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но не пропорциональны свободные члены. 3. Совпадают, если коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.
Угол между двумя прямыми
Билет №10