1. Основные свойства предела функции.

Т.1: Пусть и . Тогда

1)

2) ;

3)

Утв-ие: 1) , б/м при ( 2)Сумма люб.конечного числа б/м есть б/м последовательность.3) Произв-ие б/м посл-ти на огран.посл-ть есть посл-ть б/м. в частн., произв. 2-х б/м посл-тей есть б/м.

↓2) Т.к. . Т.к. Тогда, )( ↑

Т2.: 1)Если

2)если и ⇒

↓1) .

2) и Т3.:1)Если в некот.проколотой окрестности т. и

2) Если в некот.проколотой окрестности т. и и ,3) ↓1)

2) 3) 2.Базис и размерность конечномерного векторного пространства. Базис.

Базисом вект. пр-ва V над полем F наз. лин. независ. упоряд. сист. в-ров, ч/з кот. выр-ся кажд. в-р пр-ва.Опр. Векторное пр-во наз. конечномерным, если оно порождается конечным множеством векторов.Опр. Базисом конечномерного векторного пространства называется непустая конечная линейно независимая система векторов, порождающая это пространство.

Пример. Пусть V=Fⁿ –арифметическое векторное пространство над полем F. Система единичных векторов e₁=(1,0,…,0),…,e_n=(0,0,…,0,1) линейно независима и порождает пространство V, т.е.. Следовательно система векторов e₁,…,e_n является базисом пространства Fⁿ.

Теорема. Сист. в-ров { e₁=(1,0,…,0),…,e_n=(0,0,…,0,1)} образует базис.

Теорема.(о един. разложен. в-ра по базису) Каждый в-р пр-ва единствен. образом выражается ч/з базис.

↓ Пусть вектор х принадлежит V, {a₁…a_n}– базис V. По опр. Базиса х можно выразить ч/з базис.

Пусть он выр-ся 2 способами: x=x₁a₁+…+x_na_n и x=y₁a₁+…+y_na_n. Вычтем из первого второе. Получим

0=a₁(x₁-y₁)+…+a_n(x_n-y_n)–нулевая лин. комбинация, т.к. {a₁…a_n}лин. независим. => х₁=у₁,…х_n=y_n.↑

Следствие (теорема о базисе). Если вектор. пр-во имеет конечный базис, то каждый базис пр-ва сод. одно и то же число в-ров.

Размерностью конечномерного векторного пр-ва V над полем F наз. натур. число n такое, что сущ. лин. незав. сист. из n-в-ров, а любая сист. из n+1 в-ра уже лин. зависима. Обозн.: n = dim _FV.

Пример Пусть Fⁿ арифметическое векторное пространство над полем F. Векторы e₁=(1,0,…,0),…,e_n=(0,0,…,0,1) образуют базис пространства. Следовательно, dim Fⁿ=n .

Свойства:

1. Если V конечномерное вектор. пр-ва и dim V=n, то при k>n любая система k в-ров пр-ва V лин. завис. (Следствие. Если dim V=n и сист. в-ров b¹,…,b_m пространства V линейно независима, то )

2. Если U подпространство конечномерного векторного пространства V, то .

3. Если U подпространство конечномерного векторного пространства и dim U=dim V, то U=V.

4. Если конечномерное векторное пространство V есть прямая сумма подпространств U и Z, то dimV=dimU+dimZ .

Теорема. Если размерность вект. пр-ва V конечно, то его размерность равна числу в-ров в базисе.

↓Д-но пок-ть, что любая сист. из n+1 в-ра лин. завис. (т. Штейница: пусть сист. в-ров -лин. незав. и любой в-р сист. выр-ся ч/з . Если сист. также лин. незав., то s≤k). (без д-ва) ↑

Следствие: Каждый базис имеет одно и то же число в-ров.

Пусть -произв. Сист. из n+1 в-ра => по т. Штейница она лин. завис. => по опр. размерности n = dim _FV.

Билет №4.