2. Плоскость как поверхность первого порядка. Взаимное расположение двух плоскостей.

7

.1. Различные способы задания плоскости в пространстве.

П

лоскость в пр-ве можно задавать способами:

1 ) ; ║ ; ╫

2 ) Можно задавать тремя точками не лежащими на одной прямой:

3) Можно задавать точкой ( ) и вектором

- наз. нормальным вектором плоскости.

Сущ. и другие способы задания пл-ти. Каждому способу задания пл-ти в пр-ве соотв. некоторое ур-е.

7.1. Уравнение пл-ти проходящей через данную точку параллельно двум не коллинеарным векторам (векторы не лежат на одной прямой и не лежат на //-ых прямых).

Пусть в аф.сист.коорд. О пр-ва дана точка и даны векторы // ; // ; ╫ .Найти ур-ие пл-ти .

Пусть -произвольная точка пр-ва. , когда - компланарны(т.е. лежат в одной пл-ти или //-ны одной пл-ти). Но , , . Запишем условие компланарности векторов и координатной пл-ти:

(1)-искомое ур-ие - каноническое уравнение пл-ти.

Вывод параметрических уравнений пл-ти , векторного ур-ия пл-ти .

Пусть M(x,y,z)-произвольная точка пр-ва. - компланарны, но ╫ (не коллинеарны). Поэтому их можно принять за аффинный базис пл-ти . Тогда вектор можно разложить по векторам этого базиса = (2).

Пусть , , тогда = , (3)- векторное ур-ние.

= ; = ; ;

Векторное равенство (3) равносильно двум координатным: , параметрическое уравнение плоскости, причём . ( -параметры).

7.2. Теорема 1. Любая пл-ть явл. алгебраической пов-тью I-го порядка.

Док-во. Пусть пл-ть задана в так: , , , ╫

Возьмём каноническое ур-ие пл-ти в виде определителя: (1),

т.к. ╫ , Q= , ранг (имеет ранг =2), поэтому среди этих определителей II-го порядка , , хотя бы один отличен от нуля. Разложим левую часть определителя (1) по элементам I-ой строки I-го столбца: + =0; ; ; (*)- общее ур-ие пл-ти , причём ур-ие (*)- это алгебр. ур. I степени, т.е. оно определяет алг. поверхность I-го порядка. Итак, любая пл-ть - есть алг-ая пов-ть I-го порядка.

Теорема 2 (обратная). Любое ур-ие (*) – I-ой степени определяет пл-ть, т.е. любая линия I-го порядка есть пл-ть (без док-ва).

Из Т.1. и Т.2. , что понятие алг. поверхности I порядка и плоскости совпадает.

7.3. Взаимное расположение двух плоскостей.

Пусть в аф. сист. коорд. даны 2 пл-ти (6) и (7)

Задание: Выяснить взаимное расположение этих плоскостей. Ясно, что если M(x,y,z) корд. x,y,z удовл. системе ур-ий (6) и (7). Наоборот, любое решение системы из ур-ий (6) и (7) определяет точку принадл. обеим пл-тям . Вывод: вопрос о взаимном расположении плоскостей сводится к решению системы: ( I ).

Запишем основную и расширенную систему ( I ): = ,

Пусть ранг матрицы А ( = ( )), - ранг расширенной матрицы ( = ( )).

Эти ранги связаны след. отн. , . При исследован. сист. ( I ) возм. след. случаи: 1) . В этом случае ур-ия ( I ) лин. независ. и по теореме Кронекера-Капелли сист. совместна и имеет мн-во реш., сл-но, пл-ти и имеют много общих точек, т.е. пересек. по пр. s.

2) . По т. Кронекера-Капелли система не совместна и не имеет решений, и пл-ти не имеют общих точек, т.е. пл-ти параллельны. Т.к. , то , но т.к. , (условия параллельности плоскостей).

3 ) . В этом случае система ур-ий ( I ) линейно зависима, а поэтому пл-ти и совпадают. Получаем, что (условия совпадения двух плоскостей).

ДЛЯ ЗАДАЧ. Уравнение пл-ти проходящей через три данные точки.

Пусть в аф.сист.коорд. даны точки , , и . Составить ур-ие пл-ти = . Положим, что вектор , , тогда ур-ие (1) примет вид: (4) – ур-ие пл-ти проходящей через три данные точки.

У р-ние пл-ти проходящей через данную точку, перпен-но данному вектору.

Пусть в ПДСК , , , причём .

Пусть -произвольная точка пр-ва. . (5).

Замечание. Если задана в ПДСК общим уравнением : , то - в этом сост. геом. смысл коэф. при переменных в общем ур-нии пл-ти в ПДСК.

Билет №14

1.Применение определенного интеграла к вычислению объемов тел. Объем призмы, пирамиды, конуса, шара.

Предположим, что тело имеет объем и пусть это тело таково, что все проекции его сечений, перпендикулярных оси , на плоскость накладываются друг на друга без сдвига.

Рис.Пусть - площадь поперечного сечения, перпендикулярного оси . - непрерывна на . Разобьем на частичные и пусть . Тогда из цилиндров высоты составятся ступенчатые тела, которые, с одной стороны, содержат в себе тело , а с другой стороны, содержатся в теле . Объемы этих ступенчатых тел будут и , а объем самого тела будет удовлетворять неравенству . Т.к. , то Если, например, тело есть тело вращения вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной графиком , в этом случае Прямой цилиндр – тело, ограниченное цилиндрической поверхностью, а сверху и снизу – плоскими фигурами, лежащими в параллельных плоскостях, причем направляющие цилиндрической поверхности перпендикулярны плоскостям.

; , фигура квадрируема.

– непрерывна на . Относительно тела предположим, что все поперечные сечения этого тела лежат один в другом, если их спроектировать на одну плоскость.

Разобьем точками И проведем через точки деления поперечные сечения. Тогда все тело разобьем на слои . Объем каждого слоя обозначим через . . и - наименьшее и наибольшее значения площади на . Рассмотрим далее совокупность цилиндров с площадями оснований и высотой . Эти цилиндры образуют ступенчатое тело, содержащееся в теле . Объем этого ступенчатого тела . Аналогично совокупность с площадями оснований образуют ступенчатое тело, содержащее в себе тело . Объем . Тогда объем самого тела . Суммы, стоящие слева и справа, являются суммами Дарбу для на . - существует. => интегральные суммы стремятся друг к другу, т.е. - формула для вычисления объема по площадям поперечных сечений. Замечание 1. Если тело не удовлетворяет оговоренным условиям, т.е. поперечные сечения при проектировании могут частично накладываться, то в этом случае тело можно разбить на несколько тел, удовлетворяющих этим условиям. Замечание 2. Иногда удобно сечение тела проводить в некоторой системе координат плоскостями, перпендикулярными или .

2. Система натуральных чисел. Метод матем. индукции. Кольцо цел. чисел. Теорема о делении с остатком для целых чисел.

Под системой натуральных чисел (сист. Пеано) поним. непустое мн-во N, на кот. опр. унарная опер.' («следует за») и выделен эл-т нуль 0, и вып. след. аксиомы:

Р1: 0 N a N (a'≠0)P2: a,b N (a'=b'→a=b)P3: (акс. индукции)(A N 0 A n N(n A → n' A))→(A=N).Из аксиомы индукции вытекает принцип математической индукции (ПМИ).

Теорема: Пусть P(n) – некоторый предикат (высказывание) на мн-ве N. Обозн. ч/з A={n N/ P(n)=И}.

↓ Если А уд. акс. индукции, то n N (Р(n)=И).Метод индукции: Пусть А={ | Р(n)=И}.

1 ш.: Б.И.Проверяется условие, что , т.к. Р(0)=И.2 ш.: П.И.Предполагается, что , т.е. предпол., что Р(n)=И.3 ш.: Ш.И.Д-ся, что , т.е. Р(n')=ИЕсли вып-ся все 3 усл., то делается вывод: n N (Р(n)=И). ↑

Кольцом наз. непустое мн-во С, на кот. опр-ны бинарные операц. «сложение +» и «умножение ∙» эл-тов, удовл. след. услов:

1. Сист. (А, +) – абелева гр. с нейтр. эл-том 0;

2. Сист. (А, ∙) – полугруппа ( ∙ - ассоц.);

3. Умножение дистрибутивно от-но сложения:

a∙(b+c)=a∙b+a∙c (a+b)∙c=a∙c+b∙c.

Теорема о делении с остатком: Произвольное целое число можно разделить с остатком на полож. целое число, причем единственным образом. , q–неполн.част., r-ост.

↓ По св-ву Архимеда посл-ть …-2∙b < -1∙b < 0∙b < 1∙b < 2∙b <… бесконечно строго возрастает.

Возьмем наибольшее целое q: bq≤a a < b(q+1).

Положим r = a – bq. Имеем 0 ≤ r < b, т.к. a < bq + b → r = a – bq < b.

Осталось заметить, что a = bq = (a – bq) = bq + r, 0 ≤ r < b.

Докажем единственность разложения. Пусть

^—

Если r₂- r₁>0,

Билет №15

1. Сходящийся числовой ряд. Признаки сравнения, Даламбера и Коши сходимости ряда.

Пусть задана некоторая последовательность чисел - числовой ряд (1). - члены ряда, - общий член. - частичная сумма ряда. Если , то ряд (1) наз. сходящимся, а число наз. суммой этого ряда. Если же , то ряд (1) наз. расходящимся. Пусть дана некоторая геометрическая прогрессия - знаменатель прогрессии, - формула суммы членов геометрической прогрессии для . Пусть . В этом случае геометрическая прогрессия убывающая. Тогда сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Признак сравнения двух рядов. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и . И пусть выполняется неравенство с некоторого номера . Тогда: 1) если ряд сходится, то сходится ряд ; если ряд расходится, то расходится и ряд ; 2) если , то ряды и сходятся или расходятся одновременно. Признак Даламбера. Пусть члены ряда положительны, . Тогда: 1) если хотя бы начиная с некоторого номера , то ряд сходится; если же , то ряд расходится; 2) если , то при ряд сходится, при - расходится, а при вопрос о сходимости ряда остается открытым. Признак Коши. 1 формулировка. Пусть дан числовой ряд . Тогда если: 1) начиная с некоторого номера выполняется неравенство ряд сходится; 2) начиная с некоторого номера ряд расходится. - сходится => данный ряд в силу признака сравнения сходится. не стремится к 0 => в силу необходимого признака сходимости ряд расходится. Необходимое условие сходимости ряда: если ряд сходится, то предел его общего члена равен 0. 2 формулировка. Если , то при ряд сходится, при ряд расходится. . Тогда по определению предела

2. Векторное, каноническое и общее уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых.

Пусть - прямая в пространстве. Любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой, называется ее направляющим вектором. Прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, любые два из которых коллинеарны. Все эти векторы, вместе с нулевым вектором, образуют одномерное векторное подпространство, которое называется направляющим подпространством прямой . Положение прямой в пространстве определяется полностью, если даны: а) направляющий вектор прямой и некоторая ее точка; б) две точки прямой; в) две плоскости, пересекающиеся по прямой . Канонические уравнения прямой. Пусть в пространстве выбрана аффинная система координат и в этой системе известны координаты некоторой точки и координаты направляющего вектора прямой . Сначала рассмотрим тот случай, когда ни одна из координат вектора не равна нулю. Очевидно, точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Вектор имеет координаты , поэтому для коллинеарности векторов и необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны, т.е.: (1). Эти равенства являются уравнениями прямой . Если одна из координат вектора равна нулю, например: , то условие коллинеарности векторов и запишется так: (2). Аналогично, если равны нулю две координаты вектора , например: , то получаем: (3). В этом случае прямая параллельна оси (если хоть одно из чисел отлично от нуля) или совпадает с осью (если ). Уравнения (1), (2) и (3) называются каноническими уравнениями прямой. Уравнения прямой, заданной двумя точками. Пусть в пространстве выбрана аффинная система координат и в этой системе известны координаты двух точек и прямой . Тогда вектор является направляющим вектором этой прямой. Т.к. вектор имеет координаты , то канонические уравнения прямой при согласно формуле (1) имеют вид: . Если одна из координат вектора или две его координаты равны нулю, то для получения канонических уравнений прямой следует воспользоваться формулами (2) и (3). Уравнения прямой, заданной двумя плоскостями. Пусть прямая является линией пересечения плоскостей и , которые в аффинной системе координат заданы уравнениями: . (4) Точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда ее координаты являются решением системы уравнений (4), поэтому эта система и является уравнением прямой . Для того чтобы найти каноническое уравнение прямой, заданной уравнениями (4), надо знать координаты какой-нибудь точки этой прямой и некоторого направляющего вектора . Точку следует выбрать так, чтобы ее координаты удовлетворяли системе линейных уравнений (4). Для нахождения координат направляющего вектора воспользуемся леммой. Лемма. Если в аффинной системе координат прямая задана уравнениями (4), то вектор является направляющим вектором этой прямой. Параметрические уравнения прямой. Выберем какую-нибудь аффинную систему координат и зададим прямую направляющим вектором и точкой . Точка пространства лежит на прямой тогда и только тогда, когда и коллинеарны, т.е. когда существует такое число , что . Это соотношение в координатах запишется так: , или . (5) Эти равенства называются параметрическими уравнениями прямой, а - параметром. Их смысл заключается в следующем: для любого действительного числа точка с координатами , удовлетворяющая условиям (5), лежит на прямой . Обратно, если - точка прямой , то всегда найдется такое , что выражаются через при помощи равенств (5). Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Зададим в пространстве АСК и . Две прямые могут быть либо скрещивающимися, либо лежащими в одной плоскости (параллельные, пересекающиеся или совпадающие). 1) и – скрещиваются. Тогда - некомпланарны . 2) и лежат в одной плоскости. Тогда - компланарны (*). а) => их координаты непропорциональны => выполняется равенство (*) и 2 и 3 строки непропорциональны. б) , но . При этом выполняется условие (*), и в определителе 2 и 3 строки пропорциональны, а 1 и 2 непропорциональны. в) и выполняется равенство (*), и в определителе пропорциональны все строки.

Билет №16

1. Ряд Тейлора, достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Примеры разложения элементарных функций в степенной ряд.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производную любого порядка. - разложение в ряд Тейлора. Достаточное условие разложимости. Функция дифференцируема в некоторой окрестности точки сколько угодно раз, причем все производные по модулю в этой окрестности ограничены одним и тем же числом, т.е. . Тогда функция раскладывается в ряд Тейлора. Воспользуемся формулой Тейлора . Надо показать, что . Окрестность точки обозначим . . сходится при в силу признака Даламбера => в силу необходимого условия сходимости ряда при => . [Признак Даламбера. Пусть члены ряда положительны, . Тогда: 1) если хотя бы начиная с некоторого номера , то ряд сходится; если же , то ряд расходится; 2) если , то при ряд сходится, при - расходится, а при вопрос о сходимости ряда остается открытым. Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд сходится, то предел его общего члена равен 0.] Если - разложение по степени (ряд Маклорена). 1) Функцию можно разложить в ряд Маклорена на . Поскольку взята произвольно, то разложение в ряд Маклорена будет иметь место на всей числовой прямой. . - интервал сходимости. 2) - интервал сходимости. - интервал сходимости. 3) - биномиальный ряд. (-1;1) – область сходимости. 4) для .