Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Itogovyy_variant.doc
Скачиваний:
14
Добавлен:
19.09.2019
Размер:
23.65 Mб
Скачать

14 Вопрос. Проективная плоскость (пп) и ее модели.

Понятие проективной плоскости позволяет избавиться от необходимости различать случай параллельных и пересекающихся прямых, т.е. полностью освободиться от понятия параллельных прямых.

Опр. ПП – это всякое не пустое множество элементов, называемых точками, в котором выделены определенные подмножества наз. прямыми, такие что выполняются следующие аксиомы.

П1. для любых двух различных точек  единственная (инцидентная) содержащая их прямая.

П2. любые две различные прямые имеют единственную общую точку.

П3.  хотя бы 4 точки никакие три из них не принадлежат (неинцидентны) одной прямой. Такую четверку точек будем называть четыредугой.Опр. Прямая ПП наз. проективной прямой.Опр. аксиомы П1-П3 наз. аксиомами принадлежности проективной геометрии плоскости.Следствие 1. Проективная прямая на ПП содержит хотя бы 3 точки.Д ок-во. По аксиоме П3  хотя бы одна четыредуга.

По аксиоме П1 можно провести единственную прямую. На самом деле получаем 6 прямых (АВ, ВС, CD, AD, BD, AC). Все эти прямые различны и по аксиоме П2 получаем, что АВCD=М АСBD=N ADBC=P. На рассмотренных 6 прямых имеем по 3 точки. 1 часть следствия доказана.

б) пусть прямая S – произвольная прямая плоскости и т. а не принадлежит S тогда прямая S пересекает прямые AB, AC, AD в трех точках.

в) пусть прямая S отлична от данных и т. В не принадлежит S. Тогда прямая S пересекает BA, BC, BD в трех точках. Других случаев быть не может, значит следствие доказано.

Следствие 2.  4 прямые, никакие 3 из которых не содержат общие точки.

Модели проективной плоскости.

Модель или интерпретация – это конкретное множество объектов (точек и прямых), удовлетворяющих аксиомам П1-П3. для продолжения ПП надо подобрать конкретное множество, определить понятие «точка», «прямая», задать отношение принадлежности между ними и проверить выполнимость аксиом П1-П3. Построением модели доказывается существование ПП и непротиворечивость аксиом П1-П3.

I модель – это связка прямых и плоскостей пространства Е3, проходящих через одну т.S наз. связкой, а т. S – наз. центром связки.

Введем словарь интерпретаций.

  1. «Точка» - любая прямая связки.

  1. «Прямая» - подмножество всех прямых в связке принадлежащих одной плоскости.

  1. «Точка» принадлежит «прямой» - прямая связки принадлежит плоскости связки (а).

Проверим, что в этой модели выполняются все аксиомы П1 – П3.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000отлична от данных и т. на.

еем по 3 точки. что АВя бы 3 точки.етрии плоскости.

еделенные подмножества наз. ющихся прямых, т.е.

Проверяем П1: Для любых 2 различных «точек»  единственная, содержащая их «прямая».

Д ля любых 2 различных «прямых» связки имеется единственная плоскость  связки, содержащая их.

П роверяем П2: для любых 2 различных «прямых»  и притом единственная инцидентная «точка». В самом деле любые 2 различные плоскости связки имеют единственную общую прямую. В связке любые 3 различные плоскости имея общую т.S имеют и общую единственную прямую.

Проверяем П3:  хотя бы 4 «точки» никакие 3 не принадлежат одной «прямой», действительно.

Итак, все аксиомы П1-П3 в рассматриваемой модели выполняются, на языке связки прямых и плоскостей в евклидовом пространстве, поэтому справедлив следующий вывод: 1. ПП ; 2. аксиоматика ПП непротиворечива, если непротиворечивы аксиомы трехмерного евклидового пространства.

II модель – это классическая модель ПП и она использовалась на первых порах изучения ПП вместо самой ПП. ЕЕ можно получить из предыдущей модели с помощью центрального проецирования, но можно получить и независимо от I модели.

Пусть: 1. каждой прямой присоединяем 1 несобственную точку;

2. если а||в, то им соответствует одна и та же несобственная точка;

3. все несобственные точки лежат на одной несобственной прямой.

Опр. Евклидовая плоскость, пополненная несобственной прямой, наз. РЕП (расширенная евклидовая плоскость).

Док-жем, что РЕП – модель ПП, для этого проверим аксиомы ПП.

Прверяем П1. А,В (АВ)  s: А,Вs.

Док-во. 1 сл. А,В – собственные точки. s: А,Вs (через любые 2 т. проходит прямая).

2 сл. А – собственная т. , В - несобственная т.

 a: Аа, а||в. Док-ли, что Вв

3 сл. А - несобственные точки, тогда  а: Аа.

Проверяем П2. а,в (ав)  Р: Р=ав.

1 сл. а,в – собственные прямые.

а). ав=Р – ед. несобст.

б). а||в(по 2) ав=Р.

2 сл. а – собственная прямая, в=о – несобств. пр.

ав= ао= А

Проверяем П3.

верно т.к. ЕП=РЕП.

Непротиворечивость аксиоматики ПП.

Аксиоматика наз. непротиворечивой, если любые два предложения, полученные на базе этой аксиоматики не противоречат друг другу.Чтобы доказать, что проверяемая аксиоматика непротиворечива нужно построить модельИли интерпретацию, т.е. конкретную математическую систему, в которой выполняются все аксиомы проверяемой аксиоматики.Допустим, что модель аксиоматической плоскости построена, тогда если аксиоматика модели (интерпретации) непротиворечивы, то и проверяемая аксиоматика непротиворечива. Поэтому построение интерпретации проверяемой аксиоматики на основе ранее известной математической системы (старой) гарантирует непротиворечивость проверяемой аксиоматики, если аксиоматика старой системы непротиворечива.Из сказанного следует, что для доказательства непротиворечивости аксиоматики ПП достаточно построить модель (интерпретацию) в которых выполняются все аксиомы П1-П3.Действительная ПП.Опр. 2 модели ПП наз. изоморфными, если между их точками можно установить такое взаимнооднозначное соответствие при котором точкам любой прямой одной модели соответствуют точки некоторой прямой другой модели. Оказывается именно такое соответствие можно установить между связкой прямых трехмерного пространства и расширенной евклидовой плоскостью с помощью центральной проекции, поэтому эти 2 классические модели ПП изоморфны, но определение ПП охватывает, как ПП изоморфные расширения ПП, так и ПП неизоморфные ей.Опр. ПП, любая модель которой изоморфна расширенной евклидовой плоскости, а значит и связки прямых трехмерного ЕП наз. действительной ПП (ДПП)Принцип двойственности для ДПП.«точка лежит на прямой», «прямая проходит через точку» - можно заменить одним выражением «точка и прямая инцидентны». Используя этот термин инцидентности запишем аксиому П1, сделаем замену в нем.Для любых двух различных точек (прямых) единственная инцидентная им прямая (точка). (без скобок – П1; в скобках – П2).4 точки (прямые), никакие 3 из которых не инцидентны одной прямой (точке) (без скобок – П3; в скобках-сл.2).Но все предложения для ПП об инцидентности точки и прямой могут быть доказаны на основе аксиом П1-П3 взаимная замена слов «точка» «прямая» превращает любое предложение такого рода в новое предложение заведомо истинное без специального доказательства. Этот результат и называют принципом двойственности.Принцип двойственности. Если истинно некоторое предложение об инцидентности точки и прямой ПП, то будет истинно и предложение, получающееся из данных взаимной заменой слов «точка» и «прямая».Опр. 2 предложения, получающиеся друг из друга по принципу двойственности наз. взаимнодвойственные.Следствие 1*. Каждой точке инцидентны хотя бы 3 прямые, оно справедливо по принципу двойственности.Замечание. Для евклидовой плоскости принцип двойственности несправедлив, т.к. не выполняется аксиома П2.

Для применения принципа двойственности нужно научиться получать фигуры двойственные данным.

Пусть фигура Ф – это прямая ПП или множество всех ее точек.

Пример 1.

Пример 2.

Совокупность трех точек вершин, неинцидентных одной прямой, и трех прямых (сторон), соединяющих точки попарно, наз. трехвершинником.

П олучаем двойственную фигуру.

Совокупность трех прямых неинцидентных одной точке и трех точек попарного пересечения этих прямых наз. трехсторонником.

Трехвершинник и трехсторонник – это одна и та же фигура.

Теоремы Дезарга.

Прямая теорема Дезарга: если прямая АА1, ВВ1, СС1 соединяющие соответственные вершины двух трехвершинников пересекаются в одной точке S , то соответственные стороны этих трехвершинников пересекаются в точках P, Q, R принадлежащих одной прямой.

Дано: АВС: (АА)(ВВ)(СС)=S

АВС: (ВС)(ВС)=Q

(АС)(АС)=R

(АВ)(АВ)=Р

Док-ть, что P,Q,Rодной и той же прямой.

Замечание. Т.к. ДПП справедлива т. Дезарга, то ДПП является дезарговой плоскостью.

Опр. Трехвершинники удовлетворяющие прямой т. Дезарга наз. дезарговой прямой и перспективными с центром S.Обратная теорема Дезарга. Применим к прямой теореме дезарга принцип двойственности. Делаем замену слов «точка» на «прямую», «вершина» на «сторона» и наоборот. Получим следующее предположение. Если 3 точки пересечения соответственных сторон двух трехвершинников лежат на одной прямой, то прямая соединяющая соответственные вершины этих трехвершинников пересекаются в одной точке. Это обратная теорема Дезарга, она верна по принципу двойственности.Дано: АВС, АВС; P,Q,RSДок-ть: ААВВСС=S (проходят через одну точку).Замечание. Фигура на рис. Содержит 10 точек: A, B, C, A, B, C, Q, R, S, P и 10 прямых: а, в, с, а, в, с, а0, в0, с0, s, причем на каждой прямой 3 точки и через каждую точку проходит прямая. Такую фигуру наз. конфигурацией Дезарга или конфигурацией 103; т.S наз. дезарговой точкой; s-дезаргова прямая для двух дезарговых трехвершинников АВС и АВС.Следствие 1. любую из 10 точек конфигурации Дезарга можно принять за дезаргову точку, тогда однозначно определяются дезарговы трехвершинники и дезаргова прямая.Следствие 2. любую из 10 прямых конфигурации дезарга можно принять за дезаргову прямую, тогда однозначно определяются дезарговы……..

Теоремы дезарга верны и на расширенной евклидовой плоскости, которая является моделью ПП.Рассмотрим обратную теорему дезарга на расширенной евклидовой плоскости, когда прямая s – несобственная, а S – собственная.Обратная теорема Дезарга примет вид: если соответственные стороны двух трехвершинников параллельны, то прямые соединяющие соответственные вершины этих трехвершинников пересекаются в одной точке.Применим эту теорему для доказательства теоремы: медианы треугольника пересекаются в одной точке.

А 1В1 – средняя линия; А1В1||АВ; В1С1||ВС; А1С1||АС.

Док-во: Рассмотрим 2 трехвершинника АВС и А1В1С1 по обратной т. Дезарга по расширенной пл. соответствует трем АА1 и ВВ1 и СС1 пересекающиеся в одной т.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]