Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Itogovyy_variant.doc
Скачиваний:
13
Добавлен:
19.09.2019
Размер:
23.65 Mб
Скачать

1. Теорема дифференц. Опред. Интеграла по верхнему пределу.Формула Ньютона-Лейбница.

Теорема(необязательно): Если интегрируемая на , то - непрерывна на .Теорема (о производной определенного интеграла по верхнему переменному пределу): Если непрерывна на , то функция дифференцируема по x и .

Доказательство: ↓ ,

лежит между и . . ↑

Первообразной от функции в данном интервале называется функция , производная которой равна данной функции: .Формула Ньютона-ЛейбницаТеорема: Если непрерывна на и F некоторая первообразная на Доказательство: В силу утверждения (если непрерывна на первообразная ) является первообразной для : . Пусть , тогда , .Пусть , тогда .↑(эта теорема связывает дифф. и интегр. исчисление).

2. Отношение делимости в кольце многочленов от одной переменной над полем. Нод двух многочленов. Алгоритм Евклида.

Пусть F[x]={a0+a1x+…+anxn|nN, a0,…,anF} – кольцо многочленов над полем F.Пусть f(x), g(x) - многочлены. Говорят, что g(x) делит f(x), если h(x)F[x]: f(x)=g(x)∙h(x).Разделить f(x) на g(x) с остатком в кольце F[x], где F-поле, означ. найти мн-н q(x), r(x) F такие, что f(x)=g(x)∙q(x)+r(x), причем r(x)=0 или ст. r(x) < ст. g(x). (*)Теорема (о делении с остатком): Любой многочлен над полем можно разделить с остатком на любой многочлен, отличный от нуля, причем единственным образом.Т.о. если f(x), g(x)0 многочлены над полем F, то  многочлены h(x), r(x) F такие, что: f(x)=g(x)∙h(x)+r(x), где r(x)=0 или cт. r(x)< ст.g(x), причем h(x) и r(x) определены однозначно.

 (теорема о делении с остатком)Сначала докажем существование разлож. (*).Если f(x) =0, то утв. справедливо, разлож. сущ., ибо 0 = 0g(x)+0, ч.т.д.Пусть f(x)≠0 и ст. g(x)> ст.f(x), тогда разложение (*) сущ., ибо f(x)=g(x)∙0+f(x), где h(x)=0, a r(x)=f(x).Т.о., пусть f(x)≠0 и ст. g(x)≤ ст.f(x).Д-ть разложение (*) будем индукцией по n = ст.f(x).Б.И. n=0 => f(x)=a  0, т.к. g(x)≠0 и ст. g(x)≤ ст.f(x)=0, то g(x)=b≠0. Т.к. f-поле, то , ч.т.д., где , r(x)=0. П.И. Утв. (разложение) справедливо для многочленов степени <n , где n>0.Ш.И. Пусть ст. f(x) =n >0, тогда ст. g(x)=m≤n. Пусть .Умножим g(x) на (а0/b0)x (n-m) и вычтем из f(x): (a) ст. f1(x)<n.

По П.И. f1(x) можно разделить на g(x) с остатком:f1(x)= q(x)h1(x)+ r(x), где ст. r(x)< ст. g(x) или r(x)= 0, (б)Из (а) и (б)  f(x)= g(x)[(а0/b0)x (n-m)+h1(x)]+r(x)=g(x)h(x) + r(x) ч.т.д.

По принципу мат. индукции разложение (*) . Докажем единственность разложения (*).

Пусть f(x) = g(x) h1(x) + r1 (x), где r1(x) = 0 или ст. r1(x) < ст. g(x) и

f(x) = g(x) h2(x) + r2 (x), где r2(x) = 0 или ст. r2(x) < ст. g(x).

Вычтем из верхней строки нижнюю.

0=g(x)∙[h1(x) – h2(x)] + [r1(x) – r2(x)] => r2 (x) - r1 (x) = g(x)∙[h1(x) - h2(x)].

Если h1(x)≠ h2(x)  0,то ст. (r1- r2) < ст. g(x) (h1- h2), что невозможно  h1(x)=h2(x) => r1(x) - r2(x)=0 => r1(x)=r2(x), ч.т.д. 

Общим делителем мн-нов а(х) и b(х) наз. мн-н g(x): g(x)|a(x), b(x).

НОД многочленов a(x) и b(x) наз. общий делитель, который делится на любой общий делитель мн-нов. Обозн.: (a(x), b(x)) = d(x).

Лемма. Если f(x)=g(x)h(x)+r(x), то (f(x),g(x))=(g(x),r(x)).

Утв. Будет следовать, если пок-ть, что мн-ва общих делителей {f(x), g(x)} и {g(x), r(x)} совпадают.

  1. Д-но, если l(x)| f(x), g(x) => l(x)| f(x) – g(x)∙h(x), т.е. l(x)| g(x) и l(x)| r(x).

  2. Обратно, если l(x)| g(x), r(x) => l(x)| g(x)∙h(x) + r(x), т.е. . l(x)| f(x), r(x).

Из рав-в а), в) => утверждение, равенство множеств общих делителей. 

Теор. НОД двух мн-нов над полем F существует и равен последнему  0 остатку в посл-ти по алг. Евкл.

Пусть f(x), g(x)F[x], где F – поле, f(x)≠0, g(x)≠0.

По т. о делении с остатком имеем: (разделим f на q с остатком)

f (x)=q(x)q1(x)+r1(x) ст. r1< ст. q

q(x)=r1(x)q2(x)+r2(x) ст. r2<ст. r1

т.к. степени остатков убывают, то ч/з конечное число шагов имеем:

r1(x)=r2(x)q3(x)+r3(x) ст. r3<ст. r2

…………..

rn-2(x)=rn-1(x)qn(x)+rn(x) ст. rn<ст. rn-1

rn-1(x)=rn(x)qn+1(x)+0

Для док-ва теор. достаточно пок-ть, что rn(x)=НОД(f(х), g(х)).

По лемме НОД (f(x), g(x)) = НОД (g(x), r1(x)) = НОД (r1(x), r2(x)) = ….=НОД (rn-1, rn) = rn, т.к. rn| rn-1.

Билет №13

1. Площадь криволинейных трапеций

• Любой многоугольник (А), содержащийся в фигуре (Р), называется входящим, а любой многоугольник (В), содержащий фигуру (Р), называется исходящим по отношению к фигуре (Р).

Пусть площадь этих фигур А и В, то А≤В.Рассмотрим множество всех площадей {А}. Это множество ограничено сверху любой площадью В => . Справедливо неравенство (1) , т.к. для {А} число В является верхней гранью, а число является наименьшей из верхних граней. Множество площадей {В} ограничено снизу площадью А и числом по неравенству (1) => (2) , т.к. для множества {В} число является нижней гранью, а число – наибольшей из нижних граней.

• Если точные грани совпадают, , то их общее значение Р называется площадью фигуры (Р), а сама фигура называется квадриремой (3).

Критерий квадрируемости: Фигура квадрируема т.т.т., когда контур, ограничивающий эту фигуру, имеет нулевую площадь.Теорема (формула, выражающая площадь криволинейной трапеции): Если криволинейная трапеция ограничена линиями у=0, х=а, х=b (a<b) и графиком функции y=f(x) непрерывной и неотрицательной на [a, b], то площадь трапеции вычисляется по формуле (4).

Д оказательство: Отрезок [a, b] разобьем на n-частей a=x0<x1<…<xk-1<xk<…<xn=b. Через точки деления проведём прямые, параллельные оси ОУ, тогда вся трапеция разобьётся на n-полосок. Mk=max f(x), mk=min f(x) на [xk-1, xk] (k=1, 2,…, n).Эти наибольшие и наименьшие значения существуют на основании теоремы (Теорема Вейерштрасса: Если непрерывна на , то 1) она ограничена на всем отрезке; 2) в некоторых точках этого отрезка достигает своей точной верхней и точной нижней граней).Положим, что ∆xk= xk-xk-1. Рассмотрим прямоугольники с площадями Mk∆xk и mk∆xk. Эти прямоугольники составляют двухступенчатые фигуры, одна из которых является входящей, а другая выходящей по отношению к трапеции. ; .Эти суммы одновременно являются верхней и нижней суммами Дарбу f(x) на [a, b], т.к. функция f(x) по условию непрерывна на отрезке [a, b] , то она интегрируема на этом отрезке. (d = max xk). d – диметр разбиения.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]