
- •1. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.
- •2. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их св-ва.
- •1. Эквивалентность определений предела функции по Коши и Гейне.
- •1. Основные свойства предела функции.
- •1.Сумма, произведение, частное и композиция непрерывных функций.
- •2. Симметрические многочлены от нескольких переменных. Основная теорема о симметрических многочленах. Формулы Виета.
- •1. Свойства функций непрерывных на отрезке.
- •2. Векторное ум. Двух векторов трёхмерного евклидового пространства, его свойства и применение к решению задач
- •Геометрические свойства
- •Алгебраические свойства
- •1. Производная суммы, произведения, частного и композиции функции. Произв. Обратной функ.
- •2. Система аксиом плоскости Лобачевского,д-во ее непротиворечивости.
- •1. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •2. Смеш. Произ. 3 в-ров 3-х мерного Евклидова пр-ва. Его св-ва и прим. К реш. Геомет. Задач.
- •1. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.
- •2. Многочлены от одной переменной над полем действительных чисел. Сопряженность мнимых корней, описание неприводимых многочленов.
- •1. Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции.
- •2. Прямая на плоскости как линия первого порядка.Взаим.Распол. Двух прямых.
- •Различные способы задания прямой (направляющим вектором и точкой) и соответствующие им уравнения.
- •Взаимное расположение 2-х прямых на плоскости, заданных общими уравнениями.
- •1. Линейные св-ва опред.Интеграла и св-ва,связанные с неравенствами.
- •Линейные свойства интеграла Римана.
- •Свойства, связанные с неравенствами.
- •1. Достаточное условие существования определенного интеграла.
- •2. Эллипс,гипербола,парабола. Вывод канон.Ур-ия, изучение формы.
- •1. Теорема дифференц. Опред. Интеграла по верхнему пределу.Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Отношение делимости в кольце многочленов от одной переменной над полем. Нод двух многочленов. Алгоритм Евклида.
- •2. Плоскость как поверхность первого порядка. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •7.3. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •2. Отношение сравнения целых чисел, свойства. Сравнения первой степени.
- •1. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости ф-ций комплексной переменной. Понятие аналитической ф-ции в точке и в области.
- •Счетность множества рациональных чисел.
- •1. Несчетность множества точек отрезка [ 0,1 ]
- •2. Кольцо классов вычетов, приведённая система классов вычетов.
- •1. Скалярное умножение двух векторов трехмерного евклидова пространства, его свойства и применение к решению геометрических задач.
- •2. Неприводимые многочлены над полем. Разложение многочлена в произведения неприводимых множителей и его единственность над полем.
- •1. Векторные пространства, простейшие свойства, примеры векторных пространств. Подпространства.
- •Применение гомотетии (подобия) к решению задач на построение (или на доказательство).
- •Классиф. Движений первого рода плоскости, их применение к решению задач по геометрии.
- •2. Простые и составные числа. Бесконечность мн-ва простых чисел.
- •1. Тригон. Форма комп. Числа. Формула Муавра. Корни n – ой степени из комплексного числа.
- •1.Классификация движений второго рода плоскости, их применение к решению геом. Задач.
- •2. Системы линейных ур-ий, их виды. Равносильные системы линейных ур-ий. Метод исключения неизвестных, критерий совместности и неразрешимости.
- •2. Изображение пространственных фигур в параллельной проекции.
- •2.Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского.
- •2. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
- •14 Вопрос. Проективная плоскость (пп) и ее модели.
- •19. Кривизна и кручение кривой в трехмерном евклидовом пространстве.
1. Теорема дифференц. Опред. Интеграла по верхнему пределу.Формула Ньютона-Лейбница.
Теорема(необязательно):
Если
интегрируемая
на
,
то
- непрерывна на
.Теорема
(о производной определенного интеграла
по верхнему переменному пределу): Если
непрерывна
на
,
то функция
дифференцируема
по x и
.
Доказательство: ↓
,
лежит
между
и
.
.
↑
• Первообразной от функции
в
данном интервале называется функция
,
производная которой равна данной
функции:
.Формула
Ньютона-ЛейбницаТеорема: Если
непрерывна
на
и F некоторая первообразная
на
Доказательство:
В силу утверждения (если
непрерывна
на
первообразная
)
является первообразной для
:
.
Пусть
,
тогда
,
.Пусть
,
тогда
.↑(эта
теорема связывает дифф. и интегр.
исчисление).
2. Отношение делимости в кольце многочленов от одной переменной над полем. Нод двух многочленов. Алгоритм Евклида.
Пусть F[x]={a0+a1x+…+anxn|nN, a0,…,anF} – кольцо многочленов над полем F.Пусть f(x), g(x) - многочлены. Говорят, что g(x) делит f(x), если h(x)F[x]: f(x)=g(x)∙h(x).Разделить f(x) на g(x) с остатком в кольце F[x], где F-поле, означ. найти мн-н q(x), r(x) F такие, что f(x)=g(x)∙q(x)+r(x), причем r(x)=0 или ст. r(x) < ст. g(x). (*)Теорема (о делении с остатком): Любой многочлен над полем можно разделить с остатком на любой многочлен, отличный от нуля, причем единственным образом.Т.о. если f(x), g(x)0 многочлены над полем F, то многочлены h(x), r(x) F такие, что: f(x)=g(x)∙h(x)+r(x), где r(x)=0 или cт. r(x)< ст.g(x), причем h(x) и r(x) определены однозначно.
(теорема о делении с остатком)Сначала
докажем существование разлож. (*).Если
f(x) =0, то
утв. справедливо, разлож. сущ., ибо 0 =
0g(x)+0,
ч.т.д.Пусть f(x)≠0
и ст. g(x)>
ст.f(x), тогда
разложение (*) сущ., ибо f(x)=g(x)∙0+f(x),
где h(x)=0, a
r(x)=f(x).Т.о.,
пусть f(x)≠0
и ст. g(x)≤
ст.f(x).Д-ть
разложение (*) будем индукцией по n
= ст.f(x).Б.И.
n=0 => f(x)=a
0, т.к. g(x)≠0
и ст. g(x)≤
ст.f(x)=0, то
g(x)=b≠0.
Т.к. f-поле, то
,
ч.т.д., где
,
r(x)=0. П.И.
Утв. (разложение) справедливо для
многочленов степени <n
, где n>0.Ш.И. Пусть ст.
f(x) =n
>0, тогда ст. g(x)=m≤n.
Пусть
.Умножим
g(x) на
(а0/b0)x
(n-m)
и вычтем из f(x):
(a) ст. f1(x)<n.
По П.И. f1(x) можно разделить на g(x) с остатком:f1(x)= q(x)h1(x)+ r(x), где ст. r(x)< ст. g(x) или r(x)= 0, (б)Из (а) и (б) f(x)= g(x)[(а0/b0)x (n-m)+h1(x)]+r(x)=g(x)h(x) + r(x) ч.т.д.
По принципу мат. индукции разложение (*) . Докажем единственность разложения (*).
Пусть f(x) = g(x) h1(x) + r1 (x), где r1(x) = 0 или ст. r1(x) < ст. g(x) и
f(x) = g(x) h2(x) + r2 (x), где r2(x) = 0 или ст. r2(x) < ст. g(x).
Вычтем из верхней строки нижнюю.
0=g(x)∙[h1(x) – h2(x)] + [r1(x) – r2(x)] => r2 (x) - r1 (x) = g(x)∙[h1(x) - h2(x)].
Если h1(x)≠ h2(x) 0,то ст. (r1- r2) < ст. g(x) (h1- h2), что невозможно h1(x)=h2(x) => r1(x) - r2(x)=0 => r1(x)=r2(x), ч.т.д.
Общим делителем мн-нов а(х) и b(х) наз. мн-н g(x): g(x)|a(x), b(x).
НОД многочленов a(x) и b(x) наз. общий делитель, который делится на любой общий делитель мн-нов. Обозн.: (a(x), b(x)) = d(x).
Лемма. Если f(x)=g(x)h(x)+r(x), то (f(x),g(x))=(g(x),r(x)).
Утв. Будет следовать, если пок-ть, что мн-ва общих делителей {f(x), g(x)} и {g(x), r(x)} совпадают.
Д-но, если l(x)| f(x), g(x) => l(x)| f(x) – g(x)∙h(x), т.е. l(x)| g(x) и l(x)| r(x).
Обратно, если l(x)| g(x), r(x) => l(x)| g(x)∙h(x) + r(x), т.е. . l(x)| f(x), r(x).
Из рав-в а), в) => утверждение, равенство множеств общих делителей.
Теор. НОД двух мн-нов над полем F существует и равен последнему 0 остатку в посл-ти по алг. Евкл.
Пусть f(x), g(x)F[x], где F – поле, f(x)≠0, g(x)≠0.
По т. о делении с остатком имеем: (разделим f на q с остатком)
f
(x)=q(x)q1(x)+r1(x)
ст. r1<
ст. q
q(x)=r1(x)q2(x)+r2(x) ст. r2<ст. r1
т.к. степени остатков убывают, то ч/з конечное число шагов имеем:
r1(x)=r2(x)q3(x)+r3(x) ст. r3<ст. r2
…………..
rn-2(x)=rn-1(x)qn(x)+rn(x) ст. rn<ст. rn-1
rn-1(x)=rn(x)qn+1(x)+0
Для док-ва теор. достаточно пок-ть, что rn(x)=НОД(f(х), g(х)).
По лемме НОД (f(x), g(x)) = НОД (g(x), r1(x)) = НОД (r1(x), r2(x)) = ….=НОД (rn-1, rn) = rn, т.к. rn| rn-1.
Билет №13
1. Площадь криволинейных трапеций
• Любой многоугольник (А), содержащийся в фигуре (Р), называется входящим, а любой многоугольник (В), содержащий фигуру (Р), называется исходящим по отношению к фигуре (Р).
Пусть площадь этих фигур А и В, то
А≤В.Рассмотрим множество всех площадей
{А}. Это множество ограничено сверху
любой площадью В =>
.
Справедливо неравенство
(1)
,
т.к. для {А} число В является верхней
гранью, а число
является наименьшей из верхних граней.
Множество площадей {В} ограничено снизу
площадью А и числом
по неравенству (1) =>
(2)
,
т.к. для множества {В} число
является нижней гранью, а число
– наибольшей из нижних граней.
• Если точные грани совпадают,
,
то их общее значение Р называется
площадью фигуры (Р), а сама фигура
называется квадриремой
(3).
Критерий квадрируемости: Фигура
квадрируема т.т.т., когда контур,
ограничивающий эту фигуру, имеет нулевую
площадь.Теорема (формула, выражающая
площадь криволинейной трапеции): Если
криволинейная трапеция ограничена
линиями у=0, х=а, х=b
(a<b)
и графиком функции y=f(x)
непрерывной и неотрицательной на [a,
b], то площадь трапеции
вычисляется по формуле
(4).
Д
оказательство:
Отрезок [a, b]
разобьем на n-частей
a=x0<x1<…<xk-1<xk<…<xn=b.
Через точки деления проведём прямые,
параллельные оси ОУ, тогда вся
трапеция разобьётся на n-полосок.
Mk=max
f(x),
mk=min
f(x)
на [xk-1,
xk]
(k=1, 2,…, n).Эти
наибольшие и наименьшие значения
существуют на основании теоремы (Теорема
Вейерштрасса: Если
непрерывна
на
,
то 1) она ограничена на всем отрезке;
2) в некоторых точках этого отрезка
достигает своей точной верхней и точной
нижней граней).Положим, что ∆xk=
xk-xk-1.
Рассмотрим прямоугольники с площадями
Mk∆xk
и mk∆xk.
Эти прямоугольники составляют
двухступенчатые фигуры, одна из которых
является входящей, а другая выходящей
по отношению к трапеции.
;
.Эти
суммы одновременно являются верхней и
нижней суммами Дарбу f(x)
на [a, b], т.к.
функция f(x)
по условию непрерывна на отрезке [a,
b] , то она интегрируема
на этом отрезке.
(d = max xk).
d – диметр разбиения.