1. Счетность множества рациональных чисел.

Мн-во А наз.счетным,если оно эквив-но мн-ву нат.чисел. Св-ва счет.мн-в:1.Любое бесконеч.подмн-во счет.мн-ва само явл-ся счет.мн-вом.2.В любом бесконеч.мн-ве содерж-ся счетн.подмн-во.В-бесконеч.мн-во, 3.Если к счет.мн-ву добавить конечн.мн-во,то снова получим счет.мн-во. . .4.Объедин-е конеч.числа или счетн.мн-ва счетн.мн-в явл-ся счетн.мн-вом.5.Если А и В-счетные,то мн-во пар ,тоже явл.счетным.Если -счетные,то мн-во ,тоже счетно. 1.Мн-во рац.чисел счетно.m/n,n=1,2,3,…m=0, 2,… -высота рац.числа.Будем далее нумеровать рац.числа в порядке возрастания высоты.h=1,0/1;h=2,1/1,-1/1;h=3,1/2,-1/2,2/1,-2/1.данной высоты рац.чисел конечн.число. 2.Мн-во многочленов с рац.коэф-мисчетно. n-степень многочлена. -рац.числа.Поставим к такому многочлену в соотв-е набор ( ).Мн-во таких наборов счетно,а значит и мн-во многочленов n-ой степени тоже счетно.Мн-во многочленов это есть объединение всех многочленов степени n=0,1,2,…,поэтому тоже счетно.3.Мн-во всех алгебр.чисел счетно.Число наз.алгебраическим,если оно явл-ся корнем многочлена с рац.коэф-ми. Дейст-но,к многочлен имеет конечн.число корней.Поэтому,выписывая многочлены с рац.коэф-ми ч/з запятую (конечн.число корней), ( конечн.число корней), (конечн.число корней),…Поэтому мы можем занумеровать все эти корни по порядку.

2. Группа движений плоскости и некоторые её подгруппы, применение движений к решению задач элементарной геометрии.

Движением наз. такое преобразование плоскости, при котором сохраняется расстояние между двумя точками: - движение, если и их образов . Непустое множество называется группой, если в этом множестве определена операция , удовлетворяющее следующим условиям: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . - симметричный элемент. D – множество всех движений плоскости. Теорема. Множество всех движений плоскости является группой. Т.к. D – подмножество группы всех преобразований плоскости, то для доказательства теоремы достаточно проверить 1 и 4 аксиомы группы. 1) , т.к. - движение (1). , т.к. - движение (2). и имеют равенства (1) и (2), откуда следует, что , т.е. сохраняет расстояние => является движением. 4) (3). При и имеет место равенство (3) => при сохраняются расстояния => - движение. Вывод: D – группа движений плоскости. Те свойства фигуры, которые сохраняются при всех движениях, называются инвариантами группы D. Рассмотрим важнейшие подгруппы группы D и инварианты этих подгрупп, которые не являются инвариантами группы D. 1) Обозначим через множество всех движений первого рода. Любое движение первого рода сохраняет ориентацию плоскости. Отсюда заключаем, что если , то и . Значит, - подгруппа группы D. Она называется группой движений первого рода. Любое движение первого рода сохраняет ориентацию плоскости, т.е. переводит любой репер в репер той же ориентации. Поэтому ориентация репера – инвариант группы D. Отметим, что множество движений второго рода не является группой. В самом деле, если и - движения второго рода, то - движение первого рода, поэтому . 2) Пусть - множество всех движений первого рода, для которых - неподвижная точка. Очевидно, . Если , то ясно, что и . Значит, - подгруппа группы . Эта группа состоит из всех вращений вокруг точки . Она называется группой вращения плоскости вокруг точки . Расстояние от произвольной точки до центра вращения является инвариантом группы . 3) Рассмотрим множество , состоящее из всех параллельных переносов. Очевидно, . Пусть и – параллельные переносы с векторами переносов и . Нетрудно видеть, что если , то . Таким образом, - параллельный перенос на вектор . Далее, т.к. преобразование - параллельный перенос, то . Но тогда , т.е. - параллельный перенос на вектор . Таким образом, если , то и . Этим доказано, что - подгруппа группы ; она называется группой переносов плоскости. Инвариантом этой группы является, например, направление. 4) Группы симметрий фигур. Пусть - произвольная фигура на плоскости. Всякое движение плоскости наз. преобразованием симметрии фигуры , если при этом движении фигура переходит сама в себя. Очевидно, множество всех движений плоскости, при которых , является группой. Действительно, пусть - множество движений 1) . 4) Если , то

Применение движений к решению задач.Дано: а,в,с– параллельные прямые. Построить равносторонний треугольник АВС.

в В

а А

с С

1. Анализ.Пусть ∆АВС искомый, тогда В в, С с, АВ=АС,ÐВАС=60˚. Поэтому : В→С, но В в, следов-но С в’, где в’= .Кроме того, С с, т.е. С в’,с.

2. Построение 1. Надо строить прямую в’= 1.1 AK┴в, к в1.2 К’= 1.3 в’: К’ в’, в’┴AK’2. 3. 4. ∆АВС искомый

3. док-во1. ∆АВС правильный, т.к. АВ=АС, ÐСАВ=60 2. С с (по построению)3. С в’, : С→В, в’→в и С в’Из всего следует В в

4.Исследование.Задача имеет 2 решения, т.к. прямая в может поворачивать на Ð+60 и -60

Хотя ∆АВС = ∆А₁ В₁ С₁, но это разные решения, т.к. они занимают разные положения от-но а,в,с.

Билет №19