Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Itogovyy_variant.doc
Скачиваний:
14
Добавлен:
19.09.2019
Размер:
23.65 Mб
Скачать

2. Системы линейных ур-ий, их виды. Равносильные системы линейных ур-ий. Метод исключения неизвестных, критерий совместности и неразрешимости.

О пр. Под системой линейных уравнений с n-неизвестными понимают высказывание (предикат) вида

α11x1+…+ α1nxn=β1,

………………….. (1)

αm1x1+…+ αmnxn=βm, где aik,βi F

Под решением (корнем) СЛУ (1) поним. упорядоченный набор n чисел , при подстановке кот. каждое ур-е вместо соотв. перем. получ. верное рав-во (т.е. удовл. каждому ур-ю).Решить СЛУ означает: найти все решения, если они сущ., или установить, что их нет.Сист. наз. разрешимой (совместной), если она имеет хотя бы 1 реш.; в противн. сл. наз. неразрешимой.

Говорят, что СЛУ приведена к единому базису, если она имеет вид

Здесь x1,…,xS – базисные неизвестные, остальные xs+1,…,xn- свободные неизвестные. Мн-во решений записывается в 2 этапа: 1) выраж. базисные неизвестные через свободные; 2) ответ:

X= { =( δ1-( ), δ2-( ), …, δs-( ); xs+1,…,xn), где xs+1,…,xn R}. Две СЛУ наз. равносильными, если каждое решение любой из этих систем яв-ся решением др. системы. СЛУ наз. следствием другой СЛУ, если каждое решение первой системы яв-ся решением второй.Критерий: СЛУ равносильны тогда, когда каждая из систем яв-ся следствием другой.Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений наз. след. преобразования:ЭП1: удаление уравнений вида 0∙х1+…+0∙хn = 0.ЭП2: перестановка местами уравнений.ЭП3: умножение уравнения на число ≠0.ЭП4: прибавление к некоторому уравнению другого, умноженного на некоторое число. Теорема (об ЭП): эл. преобр. ЭП1-ЭП4 не изм. мн-ва решений системы, т.е. преобр. ее в равносильную. Следствие: Если к одному из уравнений СЛУ прибавить линейную комбинацию других уравнений системы, то получится СУ, равносильная исходной.Следствие: Если исключить из СЛУ или присоединить к ней уравнение, являющееся линейной комбинацией других уравнений системы, то получится СУ, равносильная исходной системе.

Метод Гаусса (метод основан на приведении СЛУ с помощью ЭП1-ЭП4 к единичному базису).

1) Выбираем разрешающее ур-е, кот. еще не было разрешающим, и выбираем в нем базисное неизвестное (с коэф. ≠0).2) С помощью ЭП1-ЭП4 исключаем выбранные базисные неизвестные из всех остальных. Допустим, что в системе (1) αi1≠0

α 11x112x2+…+α1nxn=β1

α21x122x2+…+α2nxn=β2

……. (1)

αk1x1k2x2+…+αknxn=βk

Используем элементарные преобразования, исключим х1 из всех уравнений системы, кроме 1-го, для этого прибавим к i-тому уравнению 1-ое уравнение умноженное на

Получаем α11х112х2+…+α1nхn=β1

α22x2+……..…+α2nxn=β2

……..

αk2x2+………..+αknxn=βk

К оэффициенты α22,…,αk2 могут оказаться нулями. В общем виде система (1) примет следующий вид α11x112x2+…+α1nx1=β1

α2txt+…………+α2nxn=β2

………..

αktxt+………....+αknxn=βk

Для этой системы не все α 2t,…, α kt равны нулю.

Билет №25

1. Отношение делимости в кольце целых чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух нат. чисел. Алгоритм Евклида. Критерий взаимной простоты двух нат. чисел.

Опр. Целое число а делит число b, если  такое целое число сZ, такое что b=а·c (b-делимое, а-делитель, с-полное частное). (обозн. а|b).

Пример: 36|3, т.к.  такое целое число 12, что 36 можно представить 36=3·12.

Св-ва:

  1. Отношение делимости рефлексивно: аZ а|а (любое целое число делится само на себя).

  2. Отношение делимости транзитивно:  целых а,в,сZ а|в и в|с а|с.

  3. Если а|b (-а)|b, a|(-b), (-a)|(-b).

Отношение делимости сохраняется при изменении знака делимого и делителя.

  1. Если а|с и b, то сумма или разность тоже делится на с: а|с и в|св)|с

  2. Если а делится на с и b целое число, то произведение a·b тоже делится на с: a|c и bZ (a·b)|c

  3. Если а делится на с и b не делится на с, то сумма или разность не делится на с

(a|c и b не (ab) не |с).

  1. Нуль делится на любое целое число неравное нулю |0, аZ).

  2. Любое целое число делится на 1(1|a, аZ).

9. Если а≠0, то не  такого цел. числа q, что а=0·q, это значит, что а не равное нулю не делится на 0.

Опр. НОД чисел а1,…,аn, n≥2 наз. наибольший их общий делитель.

(НОД – общий делитель, кот. делится на любой общий делитель).

Лемма: Если a=bq+r, то НОД(a,b)=НОД(b,r).

Алгоритм Евклида

Пусть а, bN, b0. Осуществим деление с остатком по следующей схеме (делитель делим на остаток).

a =bq0+r1 0r1<|b|

b=r1q1+r2, 0r2<|r1|

r1=r2q2+r3, 0r3<|r2| (*)

……………………

r n-2=rn-1qn-1+rn 0r1<|rn-1|

rn-1=rnqn

По лемме: (a,b)=(b,r1)=(r1,r2)=…=(rn-1,rn)=rn.

Заметим, что процесс послед. деления по алгоритму Евклида конечен, т.к. конечна убывающая посл-ть.

НОД сущ. всегда. Он равен последнему остатку ≠0 по алгоритму Евклида.

Критерий НОД: Общий делитель d чисел а и b яв. НОД  u,v Z: d=au+bv.

Опр. Если (а,в) = 1, то числа а и b явл. взаимно простыми.

Критерий взаимной простоты двух натуральных чисел.

Для того чтобы числа а и b были взаимно простыми, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие целые числа u,v, что au+bv=1. (1)

↓(=>). Если числа а и b взаимно просты, то (а, b)=1. Тогда по т-ме (если d – НОД чисел а и b, то  такие целые числа u,v, что au+bv=d)  такие целые числа u,v, что au+bv=1.

(<=). Пусть  такие целые числа u и v, что имеет место равенство (1), и пусть (а, b)=d. Тогда (согласно св-ву 4 делимости) из (1) следует, что 1|d. Значит, d=1, т.е. числа а и b взаимно просты.↑

Опр. НОК чисел а и b наз. общее кратное, которое делит любое общее кратное этих чисел.

Обозн.: НОК[a,b] или [a,b].

Теорема. НОК двух чисел равен отношению произведению этих чисел и НОД, т.е. .

↓Пусть d=(a,b). Тогда a=a1d, b=b1d и (a1,b1). Пусть с-общее кратное а и b: c=aq=bt=a1dq=b1dt => a1q=b1t. Т.к. а1 и b1 – вз/прост. => b1|q, т.е. q=b1s. Т.о. c=ab1s=s, s≥1. ↑

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]