1. Векторные пространства, простейшие свойства, примеры векторных пространств. Подпространства.

Опр. Векторным пространством над полем F наз-ся непустое множество V, на котором определены операции сложения элементов ( ) и операции умножения элементов из V на скаляры поля F( ) и выполняются условия:

I. (V,+)-абелева группа с нейтр. эл-том 0, т.е.

1) ;

2) ( )+ = + )

3) нейтральный элемент : = ;

4) (противоположный): =

II. 5) 1 1-единица поля;

6) ( ) = );

7) ;

8) =

Эл-ты вектор. пр-ва наз. векторами.Пример: = - мн-во упор. послед-й из n вещ. чисел (это осн. пример, т.к. все векторные пр-ва размерности n изоморфны над полем ).Св-ва:

1) , ;

2) (-1) , ;

3) (- ) = = , , ;

1) =(1+0) 1 +0 = 0 , т.к. (V,+)-аб.гр. : =( )+(x+0 )

( )+(x+0 )= = 0=0 .

2) 0 =(1+(-1)) = 1 +(-1) = +(-1) =(-1) ;

3) 0 =( .

Будем обозн. (-1) = и называть разностью.О пр. Непустое подмножество вект. пр-ва над полем F называется подпространством, если вместе с 2-мя своими эл-ми содержит их сумму и вместе с каждым своим элементом содержит его произведение на число из поля F.Примеры: V= - мн-во векторов на пл-ти

H= - мн-во вект. , проход. через нач.коорд. , т.о. H-подпространство.

Свойства:

1. Подпространство явл. лин. простр-м относительно операций в осн. пр-ве.

удовл. всем акс. простр-ва. H замкн. относ +, .

2) - подпрост., если - подпрост. I- произвольное мн-во индексов.

1) ,

и , .

Замечание: не всегда явл. подпростр.Пусть - векторы из V над F. Рассм. H- всех подростр. V, содержащих эти векторы. Это мн-во , т.к. .Опр. Подпространством, порожд. мн-вом векторов , наз-ся наименьшее подпр-во из V, кот. содержит эти в-ры. Обозн. < >.

Пояснение: мн-во подпр-в, кот. сод. эти эл-ты непусто, т.к. само пр-во V сод. их.

Пересечение всех таких подпр-в будет явл. наименьшим подпр-вом, кот. сод. это прост-во.

Пример: Подпространства порожд. вект. : 1) прямая; 2) все пл-ти проход. через прям.; 3) само пр-во.

2.Группа преобр. подобия плоскости, её основные подгруппы. Определение евклидовой геометрии по Ф. Клейну. Применение преобр. подобия к решению геометрических задач.

Преобразование плоскости называется преобразованием подобия (подобием), если существует такое число , что для любых двух точек и и их образов и выполняется равенство . Число наз. коэффициентом подобия. При преобразование подобия сохраняет расстояния, т.е. является движением (преобразование плоскости, сохраняющее расстояния, называется движением). Следовательно, движение – частный случай преобразования подобия. Рассмотрим пример преобразования подобия, отличного от движения. Зададим точку и вещественное число . Каждой точке плоскости поставим в соответствие точку так, чтобы (1). Такое отображение является преобразованием плоскости и называется гомотетией. Точка наз. центром гомотетии, а число - коэффициентом гомотетии. Докажем, что гомотетия – преобразование подобия. Действительно, пусть - произвольные точки плоскости, а - их образы. Из равенства (1) получаем: , поэтому . Отсюда получаем: или . Таким образом, гомотетия с коэффициентом является преобразованием подобия с коэффициентом подобия . При из равенства (1) получаем: . Отсюда следует, что любая точка плоскости совпадает с ее образом, т.е. гомотетия с коэффициентом является тождественным преобразованием. При из равенства (1) получаем, что гомотетия – центральная симметрия. В остальных случаях (т.е. когда ) гомотетия – преобразование подобия, отличное от движения, т.е. преобразование плоскости, не сохраняющее расстояния между точками. Выберем оротонормированный репер так, чтобы точка совпала с центром гомотетии. Если - произвольная точка плоскости, а точка - ее образ, то из формулы (1) получаем аналитическое выражение гомотетии: (3). Рассмотрим простейшие свойства гомотетии. . Гомотетия с коэффициентом переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную ей прямую, а прямую, проходящую через центр гомотетии, - в себя. Пусть - уравнение данной прямой . Подставив сюда значения из (3), получаем уравнение образа этой прямой: . Этим уравнением определяется прямая. Если , то , а если , то и совпадают. Гомотетия сохраняет простое отношение трех точек. Пусть - три точки прямой, а - их образы, и . По определению простого отношения трех точек имеем: . По формуле (2) получаем: , где - коэффициент гомотетии. Следовательно, или . Таким образом, , т.е. Из этих свойств следует, что гомотетия переводит отрезок в отрезок, луч в луч и полуплоскость в полуплоскость. . Гомотетия переводит угол в равный ему угол. Пусть - данный угол, а - образы точек . По формуле (2) получаем: (4). Отсюда следует, что . Гомотетия сохраняет ориентацию плоскости. Пусть - произвольный репер, а - его образ. Используя формулы (4), получаем: . Итак, в гомотетии любой репер и его образ ориентированы одинаково, т.е. гомотетия сохраняет ориентацию плоскости. Теорема 1. Пусть - преобразование подобия с коэффициентом , а - гомотетия с тем же коэффициентом и с центром в произвольной точке . Тогда существует одно и только одно движение такое, что (5). Рассмотрим преобразование (6). Оно является преобразованием подобия с коэффициентом , т.е. движением. Из равенства (6) получаем: , или . Таким образом, существует движение , удовлетворяющее условию (5). Пусть теперь - произвольное движение, удовлетворяющее равенству . Отсюда получаем: . Учитывая равенство (6), мы приходим к выводу, что . Гомотетия обладает всеми свойствами движений. Доказанная теорема позволяет заключить, что и преобразование подобия обладает теми же свойствами. Следовательно, имеет место утверждение: преобразование подобия прямую переводит в прямую, параллельные прямые – в параллельные прямые, сохраняет простое отношение трех точек, полуплоскость переводит в полуплоскость, отрезок – в отрезок, луч – в луч. Преобразование подобия угол переводит в равный ему угол, а перпендикулярные прямые – в перпендикулярные прямые. Итак, доказано, что любое преобразование подобия можно представить в виде (5): , где - движение, а - гомотетия. Т.к. сохраняет ориентацию плоскости, т.е. любой репер переводит в репер той же ориентации, то если сохраняет ориентацию плоскости, то, очевидно, и сохраняет ориентацию плоскости, а если меняет ориентацию плоскости, то и меняет ориентацию плоскости. Таким образом, любое преобразование подобия либо сохраняет ориентацию плоскости, любо меняет ее ориентацию. В первом случае оно называется преобразованием подобия первого рода, а во втором случае – преобразованием подобия второго рода. Групповой подход к геометрии: геометрия - это наука, изучающая такие свойства фигур, которые остаются инвариантными при всех преобразованиях некоторой группы; каждая геометрия порождается своей группой преобразований. Евклидова геометрия - геометрия, систематическое построение которой было впервые дано в 3 в. до н. э. Евклидом. Система аксиом опирается на следующие основные понятия: точка, прямая, плоскость, движение и следующие отношения: "точка лежит на прямой на плоскости", "точка лежит между двумя другими".