1. Эквивалентность определений предела функции по Коши и Гейне.
Сущ. 2 определения предела функции на языке Коши и языке Гейне.
По Коши: Пусть т. 
является предельной для обл.определения
ф-ии 
.
Тогда число 
По Гейне: Пусть т.
является предельной для обл.определения
ф-ии
.
Тогда число 
, 
Т.:Определения по Коши и по Гейне предела функции в точке эквивалентны.
↓Пусть 
по Коши. Докажем, что вып.опр-ие по
Гейне:
Д-но, т.к.
по Коши⇔
Пусть
- некот.посл-ть точек из обл.опред. 
,
и 
:
.
Итак, получили: 
.
Показали,что вып.опред.по Гейне.
Обратно: Пусть
по Гейне. Д-ть, что
по Коши. Предположим противное. Пусть
по Коши. Это означает, что
:
.
2. Поля, простейшие свойства. Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел. Модуль комплексного числа.
Полугруппой наз. непустое множество, на кот. задана ассоц. бинарная операция.
Моноидом наз. полугруппа, сод. нейтральный элемент.
Элемент
из
моноида наз. обратимым, если
,
при этом эл-т b наз.
обратимым для а.
Непустое мн-во наз. полем, если на нем задано сложение и умножение эл-тов, причем от-но сложения это мн-во яв-ся абелевой группой с нейтральным эл-том 0, от-но умножения это мн-во яв-ся коммут. моноидом, в кот. каждый ненулевой эл-т обратим, и умножение дистрибутивно от-но сложения.
(Поле – коммутативное кольцо с единицей, в кот. каждый отличный от нуля эл-т обратим).
Рассмотрим мн-во
.
Опр. на С сложение и умножение эл-тов удов. след. равенствам:
(
*)
+: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,
как сложение многочленов от i
∙ : (a+bi)∙(c+di)=ac+adi+bci+dbi2=(ac-bd)+(ad+bc)i, как многочлены от i с послед. заменой i2 на -1.
Теор.: Множество С относительно бинарных
операций + и ∙, опр. по (*), образует поле,
которое наз. полем комплексных чисел,
а его элементы, равные
,
наз. комплексными числами.
↓Соответствие + и ∙ яв-ся бин. опер., т.к. опр. однозначно по правилу (*).
Дос-но проверить выполнение аксиом поля.
(С,+) – абелева группа, т.к.:
Сложение коммутативно: (a+bi)+(c+di)=(a+di)+(bi+c)=(c+a)+(b+d)i;
Сложение ассоциативно, т.к. сложение вещ. чисел ассоциативно;
Нейтральный эл-т (0) яв-ся эл-том 0=0+0∙i, т.к. (a+bi)+(0+0i)=a+bi;
Противоположным эл-том для a+bi яв-ся –a-bi, т.к. (a+bi)+(-a+(-bi))=0+0i;
(С,∙) – коммут. моноид, в кот. каждый отличный от 0+0i эл-т обратим:
Коммут. произведения вытекает из коммут. произведения вещ. чисел;
Ассоц. произведения вытекает из ассоц. произведения вещ. чисел;
Нейтральным эл-том от-но умножения яв-ся 1*0i=1: (a+bi)(1+0i)=a+bi+0i+0i2=a+bi;
.
Умножение дистрибутивно относительно сложения:
.
Здесь
.
Дистрибутивность вытекает из дистриб. отн. сложения для действительных чисел. ↑
Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Между вещ. числами и точками на числ. оси сущ. вз/однозначное соответствие.
Аналог. соответствие м/у компл. числами
и точками декартовой пл-ти можно
установить сл. образом: 1)Пусть
,
,
обозн.:
.
x=Rez наз.
вещ. частью компл. числа, y=Imz
наз. мнимой частью.2)Компл. числу
можно поставить в соотв. радиус-вектор
.
Второе соотв. тесно связано с сохран.
опер. слож. векторов. Предл.: 1)
Радиус-вектор с суммой компл. чисел
равен сумме радиусов векторов этих
чисел; 2)Радиус-вектор произв. компл.
числа на вещ. равен произв. радиус-вектора
числа на вещ. число.
Модулем комплексного числа
наз. число
,
равное корню квадратному из суммы
квадратов вещественной и мнимой части.
Модуль компл. числа равен расстоянию от т. соотв. ему до начала координат.Модуль компл. числа равен длине соотв. ему радиус-вектора.Т.о. точки на компл. пл-ти будем отождествлять с компл. числами.
Свойства модуля:
|z1∙z2|=|z1|∙|z2|
↓Пусть z1=a+bi,
z2=c+di.
↑
|z-1|=|z|-1
↓
↑
|z1:z2|=|z1|:|z2|
↓
↑
(Неравенство треугольника)
|z1+z2|≤|z1|+|z2|
↓Воспользуемся геом. интерпретацией компл. чисел. Модуль равен длине соотв. радиус-вектора.
В треугольнике сторона не превосходит суммы двух других сторон. Из свойств треугольника следует: ↑
Следствие 1: |z1| - |z2| ≤ |z1 + z2|
↓ |z1 | = |z1 + z2 - z2| ≤ |z1 + z2| + |-z2| = |z1 + z2| + |z2|; |z1| - |z2| ≤ |z1 - z2| ↑
Следствие 2:
||z1| - |z2|| ≤ |z1 + z2|
↓ Сл. 1.=> |z1| - |z2| ≤ |z1 + z2|; |z1| - |z2| ≤ |z2 + z1| = |z1 + z2| => требуемое. ↑
Билет №3.