19. Кривизна и кручение кривой в трехмерном евклидовом пространстве.

Опр. Пусть элементарная линия задана параметрическими уравнениями

х = x( t )

у = y(t) (1) или векторным ^→r = ^→r (t) (2), где t I

z = z(t)

линия называется гладкой линией класса C^k (где k >= 3), если функции x( t ), y(t), z(t) имеют в промежутке I имеют непрерывные производные до порядка k включительно и

[x^\(t)]²+[y^\ (t)]²+[z^\(t)]² 0 или r^\(t) 0 при t I

Опр. Линия наз-ся гладкой, если все покрывающие её линии наз-ся гладкими.

Например: окружность не является элементарной линией, но является гладкой, т.к. окружность можно покрыть двумя полуокружностями, каждая из которых является гладкой кривой.

Гладкую элементарную линию можно задать в естественной параметризации.

П усть в ПДСК О ijk

_{0 :} x=x(s)

y=y(s) (3) ^→r = ^→r (s) (4), где s – естественный параметр или длина дуги.

z=z(s)

- единичный вектор касательной, т.к.| |=1, то

Опр. Вектор = называется вектором кривизны линии в точке М,

а его длина | |= | |= k — кривизной линии в точке М. На всей линии кривизна является функцией параметра s.

Из определения -ет, что кривизна кривой в точке характеризует скорость поворота касательной на дуге кривой от точки с параметром s до точки с параметром s+ s.

Опр. Прямая, определенная (М, ) наз-ся главной нормалью кривой в точке М.

Опр. = / | | - наз-ся единичным вектором главной нормали.

= | |*

= ; | |= k .

= k* - первая формула Френе.

Опр. Рассмотрим вектор =

| |=| |*| | sin90⁰=1

( , ), ( , , ) – правая тройка, как

Вектор наз-ся единичным вектором бинормали кривой в точке М.

Опр. Репером Френе наз-ся совокупность точки М и ортонормированного базиса , , .

Координатные плоскости имеют свои названия

(М, , ) — соприкасающаяся плоскость;

(М, , ) — нормальная плоскость;

(М, , ) — спрямляющая плоскость.

При перемещении точки М по линии перемещается и репер R_M, Учитывая это, репер R_M часто называют подвижным репером линии .

М ожно доказать, что вектор

Вторая формула Френе

Третья формула Френе

₀

_{Q =} матрица кососимметрическая.

О пр.Коэффициент в третьей формуле Френе наз-ся кручением кривой в точке М.

кручение характеризует скорость поворота бинормали

на кривой при переходе от точки с параметром s до точки с параметром s+ s, т.к. .

19.3. Кривизна и кручение винтовой линии. Применение винтовой линии в технике.

Пусть линия задана уравнением , где t- произвольный параметр, меняющийся в промежутке I.

х = a cos t

у = a sin t (1)

z = bt

где а = const > 0, b = const О и t изменяется в некотором промежутке I.

Уравнения (1) определяют элементарную линию. Она назы­вается обыкновенной винтовой линией. Как показывают уравне­ния (5), винтовая линия — гладкая линия класса С .

Введем на линии естественную параметризацию s и допустим, что функция s=h(t) определяет замену параметра.

Если - уравнение линии в естественной параметризации, то - то же уравнение, что и уравнение , поэтому

Мы замечаем, что вектор параллелен соприкасающейся плоскости.

Имеем:

Осталось получить формулу для вычисления кручения . С этой целью найдем разложение вектора по координатным векторам репера ( , , ), используя формулу (3) и формулы Френе. Нас будет интересовать коэффициент при векторе :

20. Первая квадр. форма поверхности и её прим. Понятие о внутренней геометрии поверхности

Пусть дана гладкая поверхность, заданная векторным уравнением (1) и параметрическими уравнениями:

, где - элементы поверхности

Полагаем, что , тогда получаем, что

Опр-е: называется первой квадратичной функцией.

, следовательно – эта квадратичная форма положительно определённая.

Длина дуги и кривой на поверхности:

Пусть на задана гладкая линия:

,

при непрерывны, дифференцируемы и одновременно, тогда, если точки , , то длина дуги вычисляется по формуле:

Угол между двумя кривыми на поверхности:

Составим параметрическое уравнение сферы, обозначив u – долготой, v – широтой.

ОМ=r

u–линия получается, если . Точка М – описывает параллель, u – линия параллели. Найти v-линию, если . v-линия есть меридиан. Т.к. все v-линии – меридианы. Все координатные линии на сфере – параллели и меридианы.

Найдем угол φ, , для этого найдём угол φ между векторами и , которые являются касательными координатными линиями.

В любой точке сферы координатные линии ортогональны.

4